《2026年学易优高考二轮总复习数学》

训练 1 (多选)下列说法错误的是(AC)
A.过点 $A(-2,-3)$ 且在两坐标轴上的截距相等的直线 $l$ 的方程为 $x + y = -5$
B.直线 $ax + y + 1 = 0$ 与以 $A(2,3)$，$B(-3,2)$ 为端点的线段相交，则 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-2]\cup[1,+\infty)$
C.经过点 $P(1,1)$，倾斜角为 $\theta$ 的直线方程为 $y - 1=\tan\theta(x - 1)$
D.过 $(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$ 两点的所有直线的方程为 $(x_{2}-x_{1})(y - y_{1})=(y_{2}-y_{1})(x - x_{1})$

答案：
训练 1　AC　当在两坐标轴上的截距相等且等于$0$时，直线过原点，可设直线方程为$y = kx$。又直线过点$A(-2, - 3)$，

则$-3 = - 2k$，即$k = \frac{3}{2}$，此时直线方程为$y = \frac{3}{2}x$，也满足题意，所以A错误。
直线$l:ax + y + 1 = 0$过定点$P(0, - 1)$，直线$l$的斜率为$-a$，直线$PA$，$PB$的斜率分别为$k_{PA} = \frac{3 - (-1)}{2 - 0} = 2$，$k_{PB} = \frac{2 - (-1)}{-3 - 0} = - 1$。若直线$l$与线段$AB$总有公共点，则$-a \leq - 1$或$-a \geq 2$，得$a \leq - 2$或$a \geq 1$，即$a$的取值范围是$(-\infty, - 2]\cup[1, +\infty)$，所以B正确。
当倾斜角$\theta = \frac{\pi}{2}$时，此时直线的斜率不存在，$\tan\theta$无意义，所以C错误。
由两点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，当$x_1 \neq x_2$时，此时过$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$两点的所有直线的方程为$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$，即$(x_2 - x_1)(y - y_1) = (y_2 - y_1)(x - x_1)$；当$x_1 = x_2$时，此时过$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$两点的所有直线的方程为$x = x_1$或$x = x_2$，适合上式。所以过$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$两点的所有直线的方程为$(x_2 - x_1)(y - y_1) = (y_2 - y_1)(x - x_1)$，所以D正确。

例 2 (1)(2025·浙江金丽衢十二校联考)圆 $C:x^{2}+y^{2}-2x + 4y = 0$ 的圆心 $C$ 坐标和半径 $r$ 分别为(A)

A.$C(1,-2)$，$r=\sqrt{5}$
B.$C(1,-2)$，$r = 5$
C.$C(-1,2)$，$r=\sqrt{5}$
D.$C(-1,2)$，$r = 5$

答案：
(1)A　圆$C:x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$，即$C:(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5$，它的圆心$C$坐标和半径$r$分别为$C(1, - 2)$，$r = \sqrt{5}$。

(2)(2025·晋中模拟)已知直线 $l:y = x$ 与圆 $\Gamma:(x - 2k)^{2}+(y - k + 1)^{2}=1(k\in\mathbf{R})$，下列说法正确的是(A)

A.所有圆 $\Gamma$ 均不经过点 $(1,1)$
B.若 $\Gamma$ 关于 $l$ 对称，则 $k = -2$
C.若 $l$ 与 $\Gamma$ 相交于 $A$，$B$ 两点，且 $\vert AB\vert=\sqrt{2}$，则 $k = -2$
D.存在与 $x$ 轴和 $y$ 轴均相切的圆 $\Gamma$

答案：
(2)A　若圆$\Gamma$经过点$(1,1)$，则$(1 - 2k)^2 + (1 - k + 1)^2 = 1$，化简整理得$5k^2 - 8k + 4 = 0$。因为$\Delta = 64 - 4 × 5 × 4 = 64 - 80 = - 16 ＜ 0$，所以方程无解，所以所有圆$\Gamma$均不经过点$(1,1)$，所以A正确。
圆$\Gamma:(x - 2k)^2 + (y - k + 1)^2 = 1$的圆心坐标为$(2k,k - 1)$。若$\Gamma$关于$l$对称，则直线$l$过圆心，所以$2k = k - 1$，得$k = - 1$，所以B错误。
因为$l$与$\Gamma$相交于$A$，$B$两点，且$\vert AB\vert = \sqrt{2}$，所以圆心到直线的距离为$d = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
又$d = \frac{\vert 2k - k + 1\vert}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$k = - 2$或$k = 0$，所以C错误。
若存在与$x$轴和$y$轴均相切的圆$\Gamma$，则$\vert 2k\vert = \vert k - 1\vert = 1$，此方程组无解，所以不存在与$x$轴和$y$轴均相切的圆$\Gamma$，所以D错误。

训练 2 (1)已知圆 $C$ 与 $x$ 轴的正半轴相切于点 $A$，圆心在直线 $y = 2x$ 上，若点 $A$ 在直线 $x - y - 4 = 0$ 的左上方且到该直线的距离等于 $\sqrt{2}$，则圆 $C$ 的标准方程为(D)
A.$(x - 2)^{2}+(y + 4)^{2}=4$
B.$(x + 2)^{2}+(y + 4)^{2}=16$
C.$(x - 2)^{2}+(y - 4)^{2}=4$
D.$(x - 2)^{2}+(y - 4)^{2}=16$

答案： 训练 2　
(1)D　因为圆$C$的圆心在直线$y = 2x$上，所以可设$C(a,2a)$。
又圆$C$与$x$轴的正半轴相切于点$A$，所以$a ＞ 0$，且圆$C$的半径$r = 2a$，$A(a,0)$。
因为点$A$到直线$x - y - 4 = 0$的距离$d = \sqrt{2}$，所以$d = \frac{\vert a - 0 - 4\vert}{\sqrt{1 + 1}} = \sqrt{2}$，解得$a = 6$或$a = 2$，所以$A(2,0)$或$A(6,0)$。
又点$A$在直线$x - y - 4 = 0$的左上方，所以$A(2,0)$，所以$C(2,4)$，$r = 4$。
所以圆$C$的标准方程为$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 16$。

(2)已知圆 $C_{1}:x^{2}+y^{2}=4$ 与圆 $C_{2}$ 关于直线 $2x + y + 5 = 0$ 对称，则圆 $C_{2}$ 的标准方程为(A)

A.$(x + 4)^{2}+(y + 2)^{2}=4$
B.$(x - 4)^{2}+(y - 2)^{2}=4$
C.$(x + 2)^{2}+(y + 4)^{2}=4$
D.$(x - 2)^{2}+(y - 4)^{2}=4$

答案：
(2)A　由题意可得，圆$C_1$的圆心坐标为$(0,0)$，半径为$2$。设圆心$C_1(0,0)$关于直线$2x + y + 5 = 0$的对称点为$C_2(a,b)$，则$\begin{cases} \frac{b}{a} × (-2) = - 1 \\ 2 × \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + 5 = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = - 4 \\ b = - 2 \end{cases}$。所以圆$C_2$的标准方程为$(x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 4$。

例 3 (1)(2025·北京海淀三模)已知圆 $C:(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=25$，直线 $l:mx - y - 2m = 0$，则直线 $l$ 与圆 $C$ 的公共点个数为(C)

A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.与 $m$ 有关，不能确定

答案：
(1)C　由直线$l:(m - 2)x - y = 0$恒过定点$A(2,0)$，而$(2 - 1)^2 + (0 - 2)^2 = 5 ＜ 25$，所以点$A$在圆$C$内，故直线$l$恒与圆$C$相交，故有两个交点，故选C。

(2)(2025·江西萍乡二模)过点 $P(3,1)$ 作圆 $C:x^{2}+y^{2}+2x + 4y - 4 = 0$ 的切线，记其中一个切点为 $A$，则 $\vert PA\vert=$(B)

A.16
B.4
C.21
D.$\sqrt{21}$

答案：
(2)B　圆$C:(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$的圆心$C(-1, - 2)$，半径$r = 3$，则$\vert PC\vert = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-2 - 1)^2} = 5$，所以$\vert PA\vert = \sqrt{\vert PC\vert^2 - r^2} = 4$。故选B。

例 4 (2025·浙江温州三模)已知圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 和圆 $(x - 3)^{2}+y^{2}=r^{2}(r＞0)$ 有公共点，则 $r$ 的取值范围为(B)

A.$[2,+\infty)$
B.$[2,4]$
C.$[3,4]$
D.$[1,4]$

答案： 例4　B　由题可得$\vert r - 1\vert \leq 3 \leq r + 1$，解得$2 \leq r \leq 4$。故选B。