《2026年学易优高考二轮总复习数学》

例 1 (2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin A + √3 cos A = 2.
(1)求 A；
(2)若 a = 2，√2 b sin C = c sin 2B，求△ABC 的周长。

答案： 例1　解：
(1)解法一(辅助角法)　第1步：利用辅助角公式化简已知等式
由$\sin A+\sqrt{3}\cos A=2$，得$\frac{1}{2}\sin A+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A=1$，所以$\sin(A+\frac{\pi}{3})=1$。
第2步：判断角的范围，求出角A的大小
因为$0＜A＜\pi$，所以$\frac{\pi}{3}＜A+\frac{\pi}{3}＜\frac{4\pi}{3}$，所以$A+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$，故$A=\frac{\pi}{6}$。
解法二(同角三角函数的基本关系法)
第1步：利用同角三角函数的基本关系求$\sin A$的值
由$\sin A+\sqrt{3}\cos A=2$，得$\sqrt{3}\cos A=2 - \sin A$，两边同时平方，得$3\cos^{2}A=4 - 4\sin A+\sin^{2}A$，则$3(1 - \sin^{2}A)=4 - 4\sin A+\sin^{2}A$，整理，得$1 - 4\sin A+4\sin^{2}A=0$。所以$(1 - 2\sin A)^{2}=0$，则$\sin A=\frac{1}{2}$。
第2步：求角A的大小
因为$0＜A＜\pi$，所以$A=\frac{\pi}{6}$或$A=\frac{5\pi}{6}$。当$A=\frac{\pi}{6}$时，$\sin A+\sqrt{3}\cos A=2$成立，符合条件；当$A=\frac{5\pi}{6}$时，$\sin A+\sqrt{3}\cos A=2$不成立，不符合条件。故$A=\frac{\pi}{6}$。
解法三(同角三角函数的基本关系法)　第1步：利用同角三角函数的基本关系求$\cos A$的值
由$\sin A+\sqrt{3}\cos A=2$，得$\sin A=2 - \sqrt{3}\cos A$，两边同时平方，得$\sin^{2}A=4 - 4\sqrt{3}\cos A+3\cos^{2}A$，则$1 - \cos^{2}A=4 - 4\sqrt{3}\cos A+3\cos^{2}A$，整理，得$3 - 4\sqrt{3}\cos A+4\cos^{2}A=0$，所以$(\sqrt{3}-2\cos A)^{2}=0$，则$\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
第2步：求角A的大小
因为$0＜A＜\pi$，所以$A=\frac{\pi}{6}$。
(2)第1步：利用正弦定理求B的值
由$\sqrt{2}b\sin C=c\sin2B$，得$\sqrt{2}b\sin C=2c\sin B\cos B$，由正弦定理，得$\sqrt{2}bc=2cb\cos B$，所以$\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为$0＜B＜\pi$，所以$B=\frac{\pi}{4}$。
第2步：利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理求$\sin C$的值
$C=\pi-(A + B)=\frac{7\pi}{12}$，所以$\sin C=\sin\frac{7\pi}{12}=\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4})=\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。
第3步：求$\triangle ABC$的周长
解法一(基本量法)　由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{2\sin\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{6}}=2\sqrt{2}$，$c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{2\sin\frac{7\pi}{12}}{\sin\frac{\pi}{6}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，所以$\triangle ABC$的周长为$a + b + c=2+\sqrt{6}+3\sqrt{2}$。
解法二(整体思想法)　由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得$\frac{a}{\sin A}=\frac{a + b + c}{\sin A+\sin B+\sin C}=4$，所以$a + b + c=4(\sin A+\sin B+\sin C)=4×(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})=2+\sqrt{6}+3\sqrt{2}$，所以$\triangle ABC$的周长为$2+\sqrt{6}+3\sqrt{2}$。

(1) (2025·河南省九师联盟模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 $\frac{b}{a + c} = 1 - \frac{\sin C}{\sin A + \sin B}$，a = 3，b = 2√2，则 sin B 的值为 (D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{3}$

答案： 训练1　
(1)D　由$\frac{b}{a + c}=1-\frac{\sin C}{\sin A+\sin B}$及正弦定理，得$\frac{b}{a + c}=1-\frac{c}{a + b}$，可得$b^{2}+c^{2}-a^{2}=bc$，由余弦定理得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{1}{2}$，又$0＜A＜\pi$，所以$A=\frac{\pi}{3}$。又$a = 3$，$b=2\sqrt{2}$，由$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

(2) (2025·广州模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c = 3，b = 2，∠BAC 的平分线 AD 的长为 $\frac{4\sqrt{6}}{5}$，则 BC 边上的中线 AH 的长等于 (A)

A.$\frac{\sqrt{17}}{2}$
B.$\frac{4\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{17}}{4}$
D.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

答案：
训练1　
(2)A　由题意知，设$\angle BAD=\angle CAD=\alpha$，则$\angle BAC=2\alpha$，如图所示，由$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$可得$\frac{1}{2}×3×2\sin2\alpha=\frac{1}{2}×3×\frac{4\sqrt{6}}{5}\sin\alpha+\frac{1}{2}×2×\frac{4\sqrt{6}}{5}\sin\alpha$，整理得$3\sin2\alpha=2\sqrt{6}\sin\alpha$，即$\sin\alpha(3\cos\alpha-\sqrt{6})=0$，又因为$\sin\alpha\neq0$，所以$\cos\alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以$\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=\frac{1}{3}$，由AH是BC边上的中线，得$\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，$\overrightarrow{AH}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}+2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC})=\frac{1}{4}(b^{2}+c^{2}+\frac{2}{3}bc)=\frac{1}{4}(2^{2}+3^{2}+2×3×\frac{2}{3})=\frac{17}{4}$。所以中线$AH=\frac{\sqrt{17}}{2}$。

例 2 (2025·阜阳模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a sin A cos B + b sin A cos A = √3 a cos C.
(1)求角 C 的大小；
(2)若 a = 3，且 $\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} = 1$，求△ABC 的面积。

答案： 例2　解：
(1)解法一　因为$a\sin A\cos B+b\sin A\cos A=\sqrt{3}a\cos C$，所以根据正弦定理得$\sin A\sin A\cos B+\sin A\sin B\cos A=\sqrt{3}\sin A\cos C$，因为$\sin A\neq0$，所以$\sin A\cos B+\sin B\cos A=\sqrt{3}\cos C$，即$\sin(A + B)=\sqrt{3}\cos C$，即$\sin C=\sqrt{3}\cos C$。因为$\cos C\neq0$，所以$\tan C=\sqrt{3}$，因为$0＜C＜\pi$，所以$C=\frac{\pi}{3}$。
解法二　由三角形内的射影定理知$a\cos B+b\cos A=c$，所以$a\sin A\cos B+b\sin A\cos A=(a\cos B+b\cos A)\sin A=c\sin A=\sqrt{3}a\cos C$，又由正弦定理得$\sin C\sin A=\sqrt{3}\sin A\cos C$，因为$\sin A\neq0$，所以$\sin C=\sqrt{3}\cos C$，因为$\cos C\neq0$，所以$\tan C=\sqrt{3}$，因为$0＜C＜\pi$，所以$C=\frac{\pi}{3}$。
(2)$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=bc\cos A=1$。因为$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，所以$b^{2}+c^{2}=9+2bc\cos A=11$。①因为$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$，所以$b^{2}-c^{2}=2ab\cos C-a^{2}=2×3× b×\cos\frac{\pi}{3}-3^{2}=3b - 9$。②联立①②可得$2b^{2}-3b - 2=0$，解得$b=2$（负根舍去），故$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}×3×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。