《2026年学易优高考二轮总复习数学》

(2)(2025·昆明诊断)已知随机变量 $ X_i (i = 1,2) $ 的分布列如表所示

其中 $ 0 ＜ p_i ＜ \frac{1}{2} $。若 $ p_1 ＜ p_2 $，且 $ p_1 + p_2 = \frac{1}{2} $，则(A)

A.$ E(X_1) = E(X_2) $，$ D(X_1) = D(X_2) $
B.$ E(X_1) ＞ E(X_2) $，$ D(X_1) ＞ D(X_2) $
C.$ E(X_1) = E(X_2) $，$ D(X_1) ＞ D(X_2) $
D.$ E(X_1) ＜ E(X_2) $，$ D(X_1) ＜ D(X_2) $

答案：
(2)A 因为$E(X_i)=0 + p_i(\frac{1}{2} + p_i)+(\frac{1}{2} - p_i)(1 + p_i)=\frac{1}{2}$，所以$E(X_1)=E(X_2)$. $D(X_i)=\frac{1}{2}×(0 - \frac{1}{2})^2 + p_i(\frac{1}{2} + p_i - \frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2} - p_i)·(1 + p_i - \frac{1}{2})^2 = \frac{9}{32} - \frac{1}{2}(p_i - \frac{1}{4})^2$，$D(X_1)=\frac{9}{32} - \frac{1}{2}(p_1 - \frac{1}{4})^2$，因为$p_1 + p_2 = \frac{1}{2}$，所以$p_2 = \frac{1}{2} - p_1$，$D(X_2)=\frac{9}{32} - \frac{1}{2}[(\frac{1}{2} - p_1) - \frac{1}{4}]^2 = \frac{9}{32} - \frac{1}{2}(p_1 - \frac{1}{4})^2 = D(X_1)$.

(2025·无锡模拟)我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域。某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 $ \frac{4}{5} $，每次投弹是否击中目标相互独立。无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 $ \frac{1}{2} $，击中目标两次起火点被扑灭的概率为 $ \frac{2}{3} $，击中目标三次起火点必定被扑灭。
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率。

答案：
(1)起火点被无人机击中次数$X$的所有可能取值为0，1，2，3，
$P(X = 0)=(\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125}$，
$P(X = 1)=C_3^1×\frac{4}{5}×(\frac{1}{5})^2 = \frac{12}{125}$，
$P(X = 2)=C_3^2×(\frac{4}{5})^2×\frac{1}{5} = \frac{48}{125}$，
$P(X = 3)=(\frac{4}{5})^3 = \frac{64}{125}$
$\therefore X$的分布列为
$\begin{array}{c|cccc}X&0&1&2&3\\ \hline P&\frac{1}{125}&\frac{12}{125}&\frac{48}{125}&\frac{64}{125}\end{array}$
$\because X\sim B(3,\frac{4}{5})$，
$\therefore E(X)=3×\frac{4}{5} = \frac{12}{5}$.
(2)击中一次火被扑灭的概率$P_1 = C_3^1×(\frac{4}{5})^1×(\frac{1}{5})^2×\frac{1}{2} = \frac{6}{125}$，
击中两次火被扑灭的概率$P_2 = C_3^2×(\frac{4}{5})^2×\frac{1}{5}×\frac{2}{3} = \frac{32}{125}$，
击中三次火被扑灭的概率$P_3 = (\frac{4}{5})^3 = \frac{64}{125}$，
$\therefore$所求概率$P = \frac{6}{125} + \frac{32}{125} + \frac{64}{125} = \frac{102}{125}$.

(2025·重庆模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长。某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其 $ A $，$ B $ 两个分公司的客户中各随机抽取 10 位客户进行了满意度评分调查(满分 100 分)，评分结果如下：
分公司 $ A $：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91。
分公司 $ B $：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89。
(1)求抽取的这 20 位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在 75 分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取 3 人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的 3 人中分公司 $ B $ 的客户人数为 $ X $，求 $ X $ 的分布列和数学期望。

答案：
(1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.
因为$20×25\% = 5$，
所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为$\frac{73 + 77}{2} = 75$.
(2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；
分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，
所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.
所以$X$的所有可能取值为1，2，3.
$P(X = 1)=\frac{C_3^1C_3^1}{C_5^3}=\frac{3}{10}$，$P(X = 2)=\frac{C_2^1C_3^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}$，$P(X = 3)=\frac{C_2^2C_3^1}{C_5^3}=\frac{1}{10}$，
所以$X$的分布列为
$\begin{array}{c|ccc}X&1&2&3\\ \hline P&\frac{3}{10}&\frac{3}{5}&\frac{1}{10}\end{array}$
数学期望$E(X)=1×\frac{3}{10} + 2×\frac{3}{5} + 3×\frac{1}{10} = \frac{9}{5}$.