《2026年学易优高考二轮总复习数学》

1. (2022·全国甲卷(理))已知 $ a = \frac{31}{32} $，$ b = \cos \frac{1}{4} $，$ c = 4 \sin \frac{1}{4} $，则(A)

A.$ c ＞ b ＞ a $
B.$ b ＞ a ＞ c $
C.$ a ＞ b ＞ c $
D.$ a ＞ c ＞ b $

答案： 1.A 构造函数$h(x)=1-\frac{1}{2}x^{2}-\cos x,x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，
则$g(x)=h'(x)= -x+\sin x,g'(x)= -1+\cos x\leqslant0$，
所以$g(x)\leqslant g(0)=0$，因此，$h(x)$在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上单调递减，
所以$h\left(\frac{1}{4}\right)=a - b\lt h(0)=0$，即$a\lt b$.
另一方面，$\frac{c}{b}=\frac{4\sin\frac{1}{4}}{\cos\frac{1}{4}}=\frac{\tan\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}$，显然$x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$时，
$\tan x\gt x$，
所以$\frac{c}{b}=\frac{\tan\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}\gt1$，即$b\lt c$.
因此$c\gt b\gt a$.
即选A.

2. (2022·新高考Ⅰ卷)设 $ a = 0.1 e^{0.1} $，$ b = \frac{1}{9} $，$ c = -\ln 0.9 $，则(C)

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ b ＜ a $
C.$ c ＜ a ＜ b $
D.$ a ＜ c ＜ b $

答案： 2.C 令$a_{1}=xe^{x},b_{1}=\frac{x}{1 - x},c_{1}=-\ln(1 - x)$，
①$\ln a_{1}-\ln b_{1}=x+\ln x-[\ln x-\ln(1 - x)]=x+\ln(1 - x)$，
令$y=x+\ln(1 - x),x\in(0,0.1]$，$y'=1-\frac{1}{1 - x}=\frac{-x}{1 - x}\lt0$，
所以$y\lt0$，所以$\ln a_{1}-\ln b_{1}\lt0$，所以$b_{1}\gt a_{1}$.
②$a_{1}-c_{1}=xe^{x}+\ln(1 - x),x\in(0,0.1]$，
$y'=xe^{x}+e^{x}-\frac{1}{1 - x}=\frac{(1 + x)(1 - x)e^{x}-1}{1 - x}$
令$k(x)=(1 + x)(1 - x)e^{x}-1$，所以$k'(x)=(1 - x^{2}-2x)e^{x}\gt0$，
所以$k(x)\gt k(0)=0$，所以$y'\gt0$，
所以$a_{1}-c_{1}\gt0$，所以$a_{1}\gt c_{1}$.综上可知当$x=0.1$时，$b_{1}\gt a_{1}\gt c_{1}$.

3. (2021·全国乙卷)设 $ a = 2 \ln 1.01 $，$ b = \ln 1.02 $，$ c = \sqrt{1.04} - 1 $，则(B)

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ b ＜ c ＜ a $
C.$ b ＜ a ＜ c $
D.$ c ＜ a ＜ b $

答案： 3.B 显然$a\gt b$；
令$f(x)=2\ln(1 + x)-(\sqrt{1 + 4x}-1)(x\gt0)$，则
$f'(x)=\frac{2}{1 + x}-\frac{2}{\sqrt{1 + 4x}}$
因为当$0\lt x\lt2$时，$x^{2}\lt2x$，所以$1 + 2x + x^{2}\lt1 + 2x + 2x$，即$1 + x\lt\sqrt{1 + 4x}$
所以$f'(x)\gt0$，所以$f(0.01)\gt f(0)$，即$a\gt c$.
同理，令$g(x)=\ln(1 + 2x)-(\sqrt{1 + 4x}-1)(x\gt0)$，则
$g'(x)=\frac{2}{1 + 2x}-\frac{2}{\sqrt{1 + 4x}}$，
因为当$x\gt0$时，$(1 + 2x)^{2}\gt1 + 4x$，所以$g'(x)\lt0$，
所以$g(0.01)\lt g(0)=0$，即$c\gt b$，
综上$a\gt c\gt b$，选B.

例1 (2025·石家庄二中统考)已知函数 $ f(x) $的定义域为 $ (-\infty, 0) $，$ f(-1) = -1 $，其导函数 $ f'(x) $满足 $ x f'(x) - 2 f(x) ＞ 0 $，则不等式 $ f(x + 2025) + (x + 2025)^2 ＜ 0 $的解集为(B)

A.$ (-2026, 0) $
B.$ (-2026, -2025) $
C.$ (-\infty, -2026) $
D.$ (-\infty, -2025) $

答案： 【例1】B 根据题意可令$g(x)=\frac{f(x)}{x^{2}}(x\lt0)\Rightarrow g'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{x^{3}}\lt0$，
所以$g(x)=\frac{f(x)}{x^{2}}$在$(-\infty,0)$上单调递减，
则原不等式等价于$\frac{f(x + 2025)}{(x + 2025)^{2}}\lt - 1$，
由$g(x + 2025)=\frac{f(x + 2025)}{(x + 2025)^{2}}\lt - 1 = g(-1)\Rightarrow0\gt x + 2025\gt - 1$，
解得$-2026\lt x\lt -2025$，故解集为$(-2026,-2025)$.

例2 (多选)(2025·高二下云南玉溪期末)已知定义在 $ \mathbf{R} $上的函数 $ f(x) $，其导函数为 $ f'(x) $，满足 $ f'(x) + 2 f(x) ＞ 0 $，$ e $为自然对数的底数，则(BCD)

A.$ f(1) ＞ e^2 f(2) $
B.$ e^2 f(-1) ＞ f(-2) $
C.$ f(2) ＜ e^2 f(3) $
D.$ e^4 f(-1) ＞ f(-3) $

答案： 【例2】BCD 令$g(x)=e^{2x}f(x)$，由题可知$g(x)$在$\mathbf{R}$上可导，$g'(x)=e^{2x}[f'(x)+2f(x)]$，当$x\in R$时，$g'(x)\gt0$，$g(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增；由$g(1)\lt g(2)$，得$f(1)\lt e^{2}f(2)$，故A不正确；由$g(-1)\gt g(-2)$，得$e^{2}f(-1)\gt f(-2)$，故B正确；由$g(2)\lt g(3)$，得$f(2)\lt e^{2}f(3)$，故C正确；由$g(-1)\gt g(-3)$，得$e^{4}f(-1)\gt f(-3)$，故D正确.故选BCD.

例3 (多选)(2025·高二下江西萍乡期中)奇函数 $ f(x) $满足对于任意 $ x \in (0, \frac{\pi}{2}] $，有 $ f'(x) \sin x + f(x) \cos x ＞ 0 $，其中 $ f'(x) $为 $ f(x) $的导函数，则下列不等式成立的是(ABC)

A.$ -\sqrt{3} f(-\frac{\pi}{3}) ＜ 2 f(\frac{\pi}{2}) $
B.$ \sqrt{3} f(\frac{\pi}{3}) ＞ f(\frac{\pi}{6}) $
C.$ \sqrt{2} f(\frac{\pi}{4}) ＞ -f(-\frac{\pi}{6}) $
D.$ -\sqrt{2} f(-\frac{\pi}{4}) ＞ 2 f(\frac{\pi}{2}) $

答案： 【例3】ABC 设$g(x)=f(x)\sin x,g'(x)=f'(x)\sin x + f(x)\cos x\gt0$，所以函数$g(x)$在$x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$上单调递增且$g(-x)=f(-x)\sin(-x)=f(x)\sin x = g(x)$，所以函数$g(x)$是偶函数，则$g\left(-\frac{\pi}{3}\right)=g\left(\frac{\pi}{3}\right)\lt g\left(\frac{\pi}{2}\right)$，即$f\left(-\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\lt f\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin\frac{\pi}{2}$，即$-\sqrt{3}f\left(-\frac{\pi}{3}\right)\lt2f\left(\frac{\pi}{2}\right)$，故A正确；$g\left(\frac{\pi}{3}\right)\gt g\left(\frac{\pi}{6}\right)$，即$f\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin\frac{\pi}{3}\gt f\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6}$，所以$\sqrt{3}f\left(\frac{\pi}{3}\right)\gt f\left(\frac{\pi}{6}\right)$，故B正确；$g\left(-\frac{\pi}{6}\right)=g\left(\frac{\pi}{6}\right)\lt g\left(\frac{\pi}{4}\right)$，即$f\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\frac{\pi}{4}\gt f\left(-\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$，即$\sqrt{2}f\left(\frac{\pi}{4}\right)\gt - f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$，故C正确；$g\left(-\frac{\pi}{4}\right)=g\left(\frac{\pi}{4}\right)\lt g\left(\frac{\pi}{2}\right),f\left(-\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\lt f\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin\frac{\pi}{2}$，即$-\sqrt{2}f\left(-\frac{\pi}{4}\right)\lt2f\left(\frac{\pi}{2}\right)$，故D错误.故选ABC.