《2026年学易优高考二轮总复习数学》

1. (2025·全国一卷)已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上且周期为 $ 2 $ 的偶函数，当 $ 2 \leqslant x \leqslant 3 $ 时，$ f(x)=5 - 2x $，则 $ f\left(-\frac{3}{4}\right)= $(A)

A.$ -\frac{1}{2} $
B.$ -\frac{1}{4} $
C.$ \frac{1}{4} $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 1.A　分段函数+函数性质　通解:当x∈[−1,0]时,−x+2∈[2,3],所以当x∈[−1,0]时,f(x)=f(−x)=f(−x+2)=5−2(−x+2)=1+2x,所以f(−$\frac{3}{4}$)=1 - $\frac{3}{2}$=−$\frac{1}{2}$.故选A.
　光速解:f(−$\frac{3}{4}$)=f($\frac{3}{4}$)=f($\frac{3}{4}$ + 2)=5 - 2 × ($\frac{3}{4}$ + 2)=−$\frac{1}{2}$.

2. (2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(B)

A.$ f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-x^{2}}{x^{2}+1} $
B.$ f(x)=\frac{\cos x + x^{2}}{x^{2}+1} $
C.$ f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-x}{x + 1} $
D.$ f(x)=\frac{\sin x + 4x}{\mathrm{e}^{|x|}} $

答案： 2.B　f(x)=$\frac{e^x - x^2}{x^2 + 1}$,定义域为$\mathbf{R}$，
f
(1)=$\frac{e - 1}{2}$，f(−1)=$\frac{\frac{1}{e} - 1}{2}$，
则f(−1)≠f
(1)，A不符合题意；
f(x)=$\frac{\cos x + x^2}{x^2 + 1}$，定义域为$\mathbf{R}$，f(−x)=$\frac{\cos (-x) + (-x)^2}{(-x)^2 + 1}$=$\frac{\cos x + x^2}{x^2 + 1}$=f(x)，即f(x)为偶函数，B符合题意；
f(x)=$\frac{e^x - x}{x + 1}$，定义域为{x|x≠−1}，定义域关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，C不符合题意；
函数f(x)=$\frac{\sin x + 4x}{e^{|x|}}$的定义域为$\mathbf{R}$，
f(−x)=$\frac{\sin (-x) + 4(-x)}{e^{|-x|}}$=$\frac{-\sin x - 4x}{e^{|x|}}$=−f(x)，即f(x)为奇函数，D不符合题意.

3. (2024·全国甲卷(理)科)函数 $ f(x)=-x^{2}+(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x})\sin x $ 在区间 $ [-2.8,2.8] $ 的图象大致为(B)

答案： 3.B　f(−x)=−x²+(e−x−ex)sin(−x)=−x²+(ex−e−x)sinx=f(x)，
又函数定义域为[−2.8,2.8]，故该函数为偶函数，可排除A,C；
又f
(1)=−1 + (e - $\frac{1}{e}$)sin 1 ＞ - 1 + (e - $\frac{1}{e}$)sin $\frac{\pi}{6}$=$\frac{e}{2} - \frac{1}{2e} - \frac{1}{2}$=$\frac{1}{2e}(e^2 - 1 - e)$＞0，故可排除D.故选B.

4. (2024·新课标Ⅰ卷)已知函数 $ f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-2 a x - a, x ＜ 0, \\ \mathrm{e}^{x}+\ln (x + 1), x \geqslant 0\end{array}\right. $ 在 $ \mathbf{R} $ 上单调递增，则 $ a $ 的取值范围是(B)

A.$ (-\infty,0] $
B.$ [-1,0] $
C.$ [-1,1] $
D.$ [0,+\infty) $

答案： 4.B　因为f(x)在$\mathbf{R}$上单调递增，且当x≥0时，f(x)=e^x + ln(x + 1)单调递增，则需满足$\begin{cases}-2a \geq 0 \\ -2 × (-1) \leq e^0 + \ln 1\end{cases}$，解得−1≤a≤0，即a的范围是[−1,0].故选B.

5. (2025·天津卷)已知函数 $ y = f(x) $ 的图象如图所示，则 $ f(x) $ 的解析式可能为(D)


A.$ f(x)=\frac{x}{1 - |x|} $
B.$ f(x)=\frac{x}{|x| - 1} $
C.$ f(x)=\frac{|x|}{1 - x^{2}} $
D.$ f(x)=\frac{|x|}{x^{2} - 1} $

答案： 5.D　函数图象的识别+函数的奇偶性　由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，且f(x)为偶函数，易得f(x)=$\frac{x}{1 - |x|}$与f(x)=$\frac{x}{|x| - 1}$均为奇函数，排除选项A，B. 由题图可知当x ＞ 1时，f(x) ＞ 0，易得当x ＞ 1时，f(x)=$\frac{|x|}{1 - x^2}$ ＜ 0，f(x)=$\frac{|x|}{x^2 - 1}$ ＞ 0，排除C，故选D.