《2026年学易优高考二轮总复习数学》

(1)(2025·廊坊模拟)已知 $ X $ 的分布列如表所示，且 $ Y = aX + b $，$ E(Y) = \frac{5}{6} $，则 $ D(Y) $ 的值为(D)


A.$ 1 $
B.$ \frac{5}{18} $
C.$ \frac{5}{9} $
D.$ \frac{5}{36} $

答案：
(1)D 由$a + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$可得$a = \frac{1}{2}$，所以$E(X) = - 1×\frac{1}{2} + 0×\frac{1}{3} + 1×\frac{1}{6} = - \frac{1}{3}$，$D(X)=(-1 + \frac{1}{3})^2×\frac{1}{2}+(0 + \frac{1}{3})^2×\frac{1}{3}+(1 + \frac{1}{3})^2×\frac{1}{6}=\frac{5}{9}$，所以$D(Y)=a^2D(X)=\frac{1}{4}×\frac{5}{9}=\frac{5}{36}$.

(2)(多选)已知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ c ＞ 0 $，且 $ a $，$ b $，$ c $ 成等差数列，随机变量 $ X $ 的分布列为

下列选项正确的是(BCD)

A.$ b = \frac{1}{4} $
B.$ a + c = \frac{2}{3} $
C.$ \frac{4}{3} ＜ E(X) ＜ \frac{8}{3} $
D.$ D(X) $ 的最大值为 $ \frac{2}{3} $

答案：
(2)BCD 由$\begin{cases}a + c = 2b,\\a + b + c = 1,\end{cases}$得$\begin{cases}b = \frac{1}{3},\\a + c = \frac{2}{3},\end{cases}$A错误，B正确；由$a + c = \frac{2}{3}$，$a ＞ 0$，$c ＞ 0$，得$0 ＜ c ＜ \frac{2}{3}$，则$E(X)=a + 2b + 3c = 2c + \frac{4}{3}\in(\frac{4}{3},\frac{8}{3})$，C正确；$D(X)=a[1 - (2c + \frac{4}{3})]^2 + \frac{1}{3}[2 - (2c + \frac{4}{3})]^2 + c[3 - (2c + \frac{4}{3})]^2 = (\frac{2}{3} - c)(2c + \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3}(2c - \frac{2}{3})^2 + c(2c - \frac{5}{3})^2 = - 4c^2 + \frac{8}{3}c + \frac{2}{9} = - 4(c - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3}$，当$c = \frac{1}{3}$时，$D(X)$取得最大值，且最大值为$\frac{2}{3}$，D正确.

(1)(2025·安庆质检)已知随机变量 $ X $ 的分布列为(C)

则 $ E(X) = $($\frac{4}{3}$)

A.$ 2 $
B.$ \frac{5}{3} $
C.$ \frac{4}{3} $
D.$ 1 $

答案：
(1)C 由$\frac{1}{2} + 3m = 1$，解得$m = \frac{1}{6}$，则$E(X)=0×\frac{1}{2} + 2×\frac{1}{6} + 3×\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.