《2026年学易优高考二轮总复习数学》

(2025·烟台模拟)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点。求证：

(1)BM//平面ADEF；
(2)BC⊥平面BDE。

答案：
证明：
(1)根据题意可知平面$ADEF \perp$平面$ABCD$，平面$ADEF \cap$平面$ABCD = AD$，
又$ADEF$是正方形，所以$AD \perp ED$，$ED \subset$平面$ADEF$，
所以$ED \perp$平面$ABCD$，从而可知$DA$，$DC$，$DE$两两垂直。
以$D$为原点，分别以$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DE}$为$x$轴、$y$轴、$z$轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系，
则$D(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(2,2,0)$，$C(0,4,0)$，$E(0,0,2)$，$F(2,0,2)$，
又$M$为$CE$的中点，所以$M(0,2,1)$，
则$\overrightarrow{BM} = (-2,0,1)$，$\overrightarrow{AD} = (-2,0,0)$，$\overrightarrow{AF} = (0,0,2)$，
所以$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AF}$，故$\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}$共面。
又$\overrightarrow{BM} \not\subset$平面$ADEF$，所以$\overrightarrow{BM} //$平面$ADEF$。
(2)$\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{DE}=(0,0,2)$，易知$\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{DB}=-4 + 4 = 0$，所以$\overrightarrow{BC} \perp \overrightarrow{DB}$，又$\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{DE}=0$，可得$BC \perp DE$。
又$DB \cap DE = D$，$DB$，$DE \subset$平面$BDE$，
所以$BC \perp$平面$BDE$。

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为AB，B₁C的中点。

(1)用向量法证明：平面A₁BD//平面B₁CD₁；
(2)用向量法证明：MN⊥平面A₁BD。

答案：
证明：
(1)如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则$A_1(2,0,2)$，$B(2,2,0)$，$B_1(2,2,2)$，$C(0,2,0)$，$D(0,0,0)$，$D_1(0,0,2)$，故$\overrightarrow{DA_1}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{DB}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{B_1C}=(-2,0,-2)$，$\overrightarrow{B_1D_1}=(-2,-2,0)$，
设平面$A_1BD$的法向量为$\mathbf{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$，
则$\begin{cases} \overrightarrow{DA_1} · \mathbf{n_1} = 0 \\ \overrightarrow{DB} · \mathbf{n_1} = 0 \end{cases}$，即$\begin{cases} 2x_1 + 2z_1 = 0 \\ 2x_1 + 2y_1 = 0 \end{cases}$
令$x_1 = 1$，则可得平面$A_1BD$的一个法向量为$\mathbf{n_1}=(1,-1,-1)$。
设平面$B_1CD_1$的法向量为$\mathbf{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$，
则$\begin{cases} \overrightarrow{B_1C} · \mathbf{n_2} = 0 \\ \overrightarrow{B_1D_1} · \mathbf{n_2} = 0 \end{cases}$，即$\begin{cases} -2x_2 - 2z_2 = 0 \\ -2x_2 - 2y_2 = 0 \end{cases}$
令$x_2 = 1$，则可得平面$B_1CD_1$的一个法向量为$\mathbf{n_2}=(1,-1,-1)$，
所以$\mathbf{n_1} = \mathbf{n_2}$，即$\mathbf{n_1} // \mathbf{n_2}$，
故平面$A_1BD //$平面$B_1CD_1$。
(2)由$M$，$N$是线段$AB$，$B_1C$中点，则$M(2,1,0)$，$N(1,2,1)$，所以$\overrightarrow{MN}=(-1,1,1)$，
则$\overrightarrow{MN} // \mathbf{n_1}$，所以$MN \perp$平面$A_1BD$。