《2026年学易优高考二轮总复习数学》

训练1(2025·湖北襄阳二模)已知函数$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$.
(1)求$f(x)$的单调递减区间；
(2)将函数$y = f(x)$的图象向右平移$\frac{2\pi}{3}$个单位长度后得到$y = g(x)$的图象，当函数$y = g(x)-k$在$[0,\frac{7\pi}{3}]$上有一个零点时，求$k$的取值范围.

答案：

(1)$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$
$=\sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}$，
令$\frac{2\pi}{3}+2k\pi\leqslant\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{3\pi}{2}+2k\pi(k\in Z)$，
解得：$\frac{2\pi}{3}+4k\pi\leqslant x\leqslant\frac{8\pi}{3}+4k\pi(k\in Z)$，
所以$f(x)$的单调递减区间为$[\frac{2\pi}{3}+4k\pi,\frac{8\pi}{3}+4k\pi](k\in Z)$
(2)将函数$y=f(x)$的图象向右平移$\frac{2\pi}{3}$个单位长度后得到$g(x)=\sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}$，
则$y=g(x)-k=\sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}-k$，
因为$0\leqslant x\leqslant\frac{7\pi}{3}$，所以$-\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\leqslant\pi$，
所以要使函数$y=g(x)-k$在$[0,\frac{7\pi}{3}]$上有一个零点，则$y=g(x)$与$y=k$只有一个交点，
结合正弦函数的图象：

可得当$-\frac{\pi}{6}\leqslant\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}＜0$或$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，即$0\leqslant x＜\frac{\pi}{3}$或$x=\frac{4\pi}{3}$，
即$0\leqslant\sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}$或$\sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$0\leqslant k＜\frac{1}{2}$或$k=\frac{3}{2}$时，$y=g(x)$与$y=k$只有一个交点，
所以实数$k$的取值范围为$\{k\mid0\leqslant k＜\frac{1}{2}$，或$k=\frac{3}{2}\}$.

例2(2025·广东揭阳三模)已知$\triangle ABC$内角$A$，$B$，$C$所对的边分别是$a$，$b$，$c$，且$\sin^{2}A+\sin^{2}B=2+\cos 2C$.
(1)证明：$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$；
(2)求$\frac{\sin C}{\sin A\sin B}$的最值；
(3)若$c = 6$，$A\in(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4})$，求$\triangle ABC$的面积$S$的取值范围.

答案：
(1)证明：因为$\cos\alpha=\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})=\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$，
$\cos\beta=\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$，
两式相加得$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$，得证.
(2)解：当$C=\frac{\pi}{2}$时，$A+B=\frac{\pi}{2}$，满足$\sin^{2}\frac{A}{2}+\sin^{2}\frac{B}{2}=2+\cos2C$.
令$A\to0$，$\frac{\sin C}{\sin A\sin B}=\frac{1}{\sin A\sin B}=\frac{2}{\sin2A}\to+\infty$，故$\frac{\sin C}{\sin A\sin B}$无最大值，
因为$\sin^{2}\frac{A}{2}+\sin^{2}\frac{B}{2}=\frac{1-\cos2A}{2}+\frac{1-\cos2B}{2}$
$=1-\frac{1}{2}(\cos2A+\cos2B)=1-\cos(A+B)\cos(A-B)$，
$2+\cos2C=1+2\cos^{2}C$，
则$\cos C\cos(A-B)-2\cos^{2}C=0$，
$\cos C[3\cos(A-B)+2\cos(A+B)]=0$，
则$\cos C=0$或$\sin A\sin B=3\cos A\cos B$，
由$\sin A\sin B＞0$，有$\cos A\cos B＞0$，则$\tan A\tan B=3$.
①当$C=\frac{\pi}{2}$时，$\frac{\sin C}{\sin A\sin B}=\frac{1}{\sin A\sin B}=\frac{2}{\sin2A}\geqslant2$，$A=B=\frac{\pi}{4}$时取等号，
②当$\tan A\tan B=3$时，
$\frac{\sin C}{\sin A\sin B}=\frac{\sin(A+B)}{\sin A\sin B}=\frac{\sin A\cos B+\sin B\cos A}{\sin A\sin B}$
$=\frac{1}{\tan A}+\frac{1}{\tan B}\geqslant\frac{2}{\sqrt{\tan A\tan B}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
$A=B=C=\frac{\pi}{3}$时取等号，
因为$2＞\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则$\frac{\sin C}{\sin A\sin B}$的最小值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，综上，$\frac{\sin C}{\sin A\sin B}$有最小值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，无最大值.
(3)解：①当$C=\frac{\pi}{2}$时，$2A\in(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$，
则$S=\frac{1}{2}·6\sin A·6\sin B=18\sin A\cos A=9\sin2A\in(\frac{9\sqrt{3}}{2},9)$.
②当$\tan A\tan B=3$时，
在$\triangle ABC$中，由正弦定理有$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{6}{\sin C}$，则$a=\frac{6\sin A}{\sin C}$，$b=\frac{6\sin B}{\sin C}$，
则$S=\frac{1}{2}·\frac{6\sin A}{\sin C}·\frac{6\sin B}{\sin C}\sin C=\frac{18\sin A\sin B}{\sin A\cos B+\sin B\cos A}=\frac{54}{\tan A+\tan B}$
由函数$f(x)=x+\frac{3}{x}$在$(\frac{\sqrt{3}}{3},1)$上单调递减，有$\tan A+\tan B=\tan A+\frac{3}{\tan A}\in(4,\frac{10\sqrt{3}}{3})$，
$\therefore S\in(\frac{27\sqrt{3}}{5},\frac{27}{2})$
综上，$\triangle ABC$的面积$S$的取值范围是$(\frac{9\sqrt{3}}{2},9)\cup(\frac{27\sqrt{3}}{5},\frac{27}{2})$.

例3(2025·湛江模拟)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$a\cos(B - C)+a\cos A - 2\sqrt{3}c\sin B\cos A = 0$.
(1)求$A$；
(2)若$\triangle ABC$外接圆的直径为$2\sqrt{3}$，求$2c - b$的取值范围.

答案：
(1)由$A+B+C=\pi$可得$A=\pi-(B+C)$，
所以$\cos A=-\cos(B+C)$，
所以$a\cos(B-C)-a\cos(B+C)$
$=2\sqrt{3}c\sin B\cos A$，
$a\cos B\cos C+a\sin B\sin C-a\cos B\cos C+a\sin B\sin C$
$=2\sqrt{3}c\sin B\cos A$，
整理可得$a\sin B\sin C=\sqrt{3}c\sin B\cos A$，
由正弦定理可得
$\sin A\sin B\sin C=\sqrt{3}\sin C\sin B\cos A$，
因为$\sin C\neq0,\sin B\neq0$，所以$\tan A=\sqrt{3}$，
而$A\in(0,\pi)$，所以$A=\frac{\pi}{3}$.
(2)设$\triangle ABC$外接圆的半径为$R$，而圆的直径为$2\sqrt{3}$，所以$2R=2\sqrt{3}$.
由正弦定理可得$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R=2\sqrt{3},A=\frac{\pi}{3}$，
所以$b=2\sqrt{3}\sin B$，
$c=2\sqrt{3}\sin C=2\sqrt{3}\sin(B+\frac{\pi}{3})$，
故$2c-b=4\sqrt{3}\sin(B+\frac{\pi}{3})-2\sqrt{3}\sin B=6\cos B$，
因为$B\in(0,\frac{2\pi}{3})$，所以$\cos B\in(-\frac{1}{2},1)$，
所以$2c-b\in(-3,6)$，
所以$2c-b$的取值范围为$(-3,6)$.