《2026年学易优高考二轮总复习数学》

例 1 (2025·吉安模拟)在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 5$，$a_{n + 1} = 3a_{n} - 4$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为______。
考向 2 $a_{n + 1} = pa_{n} + qn + c(p\neq 0,1,q\neq 0)$

答案： 【例1】 $a_n = 3^n + 2$ 解法一(构造法) 由$a_{n + 1} = 3a_n - 4$，
设$a_{n + 1} - \lambda = 3(a_n - \lambda)$，
即$a_{n + 1} = 3a_n - 2\lambda$，故$2\lambda = 4$，$\lambda = 2$，
则$a_{n + 1} - 2 = 3(a_n - 2)$，
又$a_1 = 5$，所以$\{a_n - 2\}$是以$a_1 - 2 = 3$为首项，
3为公比的等比数列，
所以$a_n - 2 = 3^n$，即$a_n = 3^n + 2$.
解法二(不动点法) 令$3x - 4 = x$，解得不动点$x = 2$，
由$a_{n + 1} = 3a_n - 4$，得$a_{n + 1} - 2 = 3(a_n - 2)$
所以数列$\{a_n - 2\}$是以$a_1 - 2 = 3$为首项，
3为公比的等比数列，所以$a_n - 2 = 3^n$，
即$a_n = 3^n + 2$.

例 2 (2025·南京模拟)在数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{1} = 2$，且$a_{n + 1} = 4a_{n} - 3n + 1(n\in N^{*})$，则该数列的通项公式为$a_n = 4^{n - 1} + n$。

答案： 【例2】 $a_n = 4^{n - 1} + n$ 令$a_{n + 1} - A(n + 1) - B = 4(a_n -An - B)$，
则$a_{n + 1} = 4a_n - 3An + A - 3B$，
由条件得$\begin{cases} -3A = -3, \\ A - 3B = 1, \end{cases}$解得$\begin{cases} A = 1, \\ B = 0, \end{cases}$
即$a_{n + 1} - (n + 1) = 4(a_n - n)$，
故数列$\{a_n - n\}$是首项为$a_1 - 1 = 1$，公比为4的等比数列，
从而$a_n - n = 4^{n - 1}$，故$a_n = 4^{n - 1} + n$.
故答案为$a_n = 4^{n - 1} + n$.

例 3 (2025·黑龙江期中)数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1} = 2$，$a_{n + 1} = 3a_{n} + 2^{n + 1}$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} =$$2(3^n - 2^n)$。

答案： 【例3】 $2(3^n - 2^n)$ 数列$\{a_n\}$中，由$a_{n + 1} = 3a_n + 2^{n + 1}$，得
$\frac{a_{n + 1}}{2^{n + 1}} = \frac{3}{2} · \frac{a_n}{2^n} + 1$，即$\frac{a_{n + 1}}{2^{n + 1}} + 2 = \frac{3}{2}(\frac{a_n}{2^n} + 2)$，
而$a_1 = 2$，$\frac{a_1}{2} + 2 = 3$，于是数列$\{\frac{a_n}{2^n} + 2\}$是首项为3，公比为
$\frac{3}{2}$的等比数列，
因此$\frac{a_n}{2^n} + 2 = 3 × (\frac{3}{2})^{n - 1}$，即$a_n = 2(3^n - 2^n)$，
所以数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2(3^n - 2^n)$.
故答案为$2(3^n - 2^n)$.

训练 1 (1)在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 4$，$a_{n + 1} = 3a_{n} - 2$，则$a_{n} =$$3^n + 1$。

答案： 训练1
(1)$3^n + 1$ 因为$a_{n + 1} = 3a_n - 2(n \in N^*)$，
所以$a_{n + 1} - 1 = 3(a_n - 1)$，所以$\frac{a_{n + 1} - 1}{a_n - 1} = 3$，
所以数列$\{a_n - 1\}$是一个等比数列，
所以$a_n - 1 = (4 - 1) · 3^{n - 1} = 3^n$，所以$a_n = 3^n + 1$.
故答案为$3^n + 1$.

(2)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1} = 2$，$a_{n + 1} = 3a_{n} + 2(n\in N^{*})$，则该数列的通项公式$a_{n} =$$3^n - 1$。

答案： 训练1
(2)$3^n - 1$ 因为$a_{n + 1} = 3a_n + 2$，所以$a_{n + 1} + 1 = 3(a_n + 1)$，
则数列$\{a_n + 1\}$时以$a_1 + 1 = 3$为首项
公比为3的等比数列，故$a_n + 1 = 3^n$，所以$a_n = 3^n - 1$.

例 4 已知在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 5$，$a_{2} = 2$，$a_{n} = 2a_{n - 1} + 3a_{n - 2}(n\geq 3)$，求这个数列的通项公式。

答案： 【例4】 解:解法一(构造法) $\because a_n = 2a_{n - 1} + 3a_{n - 2}$，
$\therefore a_n + a_{n - 1} = 3(a_{n - 1} + a_{n - 2})$，
又$a_1 + a_2 = 7$，
$\therefore \{a_n + a_{n - 1}\}$是首项为7，公比为3的等比数列，
则$a_n + a_{n - 1} = 7 × 3^{n - 2}$，①
又$a_n - 3a_{n - 1} = -(a_{n - 1} - 3a_{n - 2})$，$a_2 - 3a_1 = -13$，
$\therefore \{a_n - 3a_{n - 1}\}$是首项为-13，公比为-1的等比数列，
则$a_n - 3a_{n - 1} = (-13) · (-1)^{n - 2}$，②
①$× 3$+②得$4a_n = 7 × 3^{n - 1} + 13 · (-1)^{n - 1}$，
$\therefore \{a_n\}$的通项公式为$a_n = \frac{7}{4} × 3^{n - 1} + \frac{13}{4}(-1)^{n - 1}$.
解法二(特征根法) 数列$\{a_n\}$的特征方程为$x^2 = 2x + 3$，
解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$.
令$a_n = c_1 · (-1)^n + c_2 · 3^n$，
由$\begin{cases} a_1 = -c_1 + 3c_2 = 5, \\ a_2 = c_1 + 9c_2 = 2, \end{cases}$得$\begin{cases} c_1 = -\frac{13}{4}, \\ c_2 = \frac{7}{12}, \end{cases}$
故$a_n = -\frac{13}{4}(-1)^n + \frac{7}{12} · 3^n$
$ = \frac{7}{4} · 3^{n - 1} + \frac{13}{4}(-1)^{n - 1}$.
故$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = \frac{7}{4} · 3^{n - 1} + \frac{13}{4}(-1)^{n - 1}$.

训练 2 (1)在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 8$，$a_{4} = 2$，且满足$a_{n + 2} = 2a_{n + 1} - a_{n}(n\in N^{*})$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_n = 10 - 2n$。

答案： 训练2
(1)$a_n = 10 - 2n$ 由题意知$a_{n + 2} - a_{n + 1} = a_{n + 1} - a_n$，
设公差为$d$，由题意得$2 = 8 + 3d$，则$d = -2$，
得$a_n = 8 - 2(n - 1) = 10 - 2n$.

(2)在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 1$，$a_{2} = 3$，$a_{n + 2} = 3a_{n + 1} - 2a_{n}$，则$a_{n} =$$2^n - 1$。

答案： 训练2
(2)$2^n - 1$ 由题意知$a_{n + 2} - a_{n + 1} = 2(a_{n + 1} - a_n)$，
$\because a_2 - a_1 = 2$，
$\therefore \{a_n - a_{n - 1}\}$是首项为2，公比为2的等比数列，
$a_n - a_{n - 1} = 2^{n - 1}(n \geq 2)$，
当$n \geq 2$时，$a_n = (a_n - a_{n - 1}) + (a_{n - 1} - a_{n - 2}) + ·s + (a_2 -a_1) + a_1 = 2^{n - 1} + 2^{n - 2} + ·s + 2 + 1 = \frac{1 - 2^n}{1 - 2} = 2^n - 1$.
显然$n = 1$时满足上式，$\therefore a_n = 2^n - 1$.

例 5 (1)(2025·吉林长春期中)已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1} = 1$且$a_{n + 1} = \frac{3a_{n}}{a_{n} + 3}(n\in N^{*})$，则$a_{13} =$(D)

A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{7}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{5}$

答案： 【例5】
(1)D 由$a_{n + 1} = \frac{3a_n}{a_n + 3}$得：$\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{1}{a_n} + \frac{1}{3}$，
又$\frac{1}{a_1} = 1$，$\therefore$数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是以1为首项，$\frac{1}{3}$为公差的等差数
列，$\therefore \frac{1}{a_n} = 1 + \frac{1}{3}(n - 1) = \frac{n + 2}{3}$，$\therefore a_n = \frac{3}{n + 2}$，$n \in N^*$，
$\therefore a_{13} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$，故选D.

(2)(2025·浙江杭州月考)在数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{1} = 2$，$a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3a_{n} + 1}$，则$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_n = \frac{2}{6n - 5}(n \in N^*)$。

答案： 【例5】
(2)$a_n = \frac{2}{6n - 5}(n \in N^*)$ 由$a_{n + 1} = \frac{a_n}{3a_n + 1}$，
两边取倒数得$\frac{1}{a_{n + 1}} = 3 + \frac{1}{a_n}$，即$\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_n} = 3$，
又因为$\frac{1}{a_1} = \frac{1}{2}$，所以$\{\frac{1}{a_n}\}$是首项为$\frac{1}{2}$，公差为3的等差
数列，
所以$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{2} + 3(n - 1) = \frac{6n - 5}{2}$，
故$a_n = \frac{2}{6n - 5}(n \in N^*)$.

训练 3 (1)已知数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1} = \frac{2}{3}$，$a_{n + 1} = \frac{2a_{n}}{a_{n} + 1}$，则$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_n = \frac{2^n}{2^n + 1}$。

答案： 训练3
(1)$a_n = \frac{2^n}{2^n + 1}$ 因为$a_{n + 1} = \frac{2a_n}{a_n + 1}$，
所以$\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{1}{2a_n} + \frac{1}{2}$，$\frac{1}{a_{n + 1}} - 1 = \frac{1}{2}(\frac{1}{a_n} - 1)$，
所以$\{\frac{1}{a_n} - 1\}$是以$\frac{1}{a_1} - 1 = \frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比
数列，
所以$\frac{1}{a_n} - 1 = (\frac{1}{2})^n$，$a_n = \frac{2^n}{2^n + 1}$.

(2)(2025·武汉质检)在数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{1} = 1$，$a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2a_{n} + 1}$，则$a_{n} =$$\frac{1}{2n - 1}$。

答案： 1. 首先，对$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{2a_{n}+1}$两边取倒数：
由$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{2a_{n}+1}$，可得$\frac{1}{a_{n + 1}}=\frac{2a_{n}+1}{a_{n}}$。
然后将$\frac{2a_{n}+1}{a_{n}}$进行化简：$\frac{2a_{n}+1}{a_{n}} = 2+\frac{1}{a_{n}}$。
2. 接着，构造新数列：
设$b_{n}=\frac{1}{a_{n}}$，则$b_{1}=\frac{1}{a_{1}}$，因为$a_{1}=1$，所以$b_{1}=1$。
此时$b_{n + 1}=2 + b_{n}$，即$b_{n + 1}-b_{n}=2$。
由此可知数列$\{b_{n}\}$是以$b_{1}=1$为首项，$d = 2$为公差的等差数列。
3. 再根据等差数列通项公式$b_{n}=b_{1}+(n - 1)d$求$b_{n}$：
根据等差数列通项公式$b_{n}=b_{1}+(n - 1)d$（其中$b_{1}$为首项，$d$为公差），这里$b_{1}=1$，$d = 2$，则$b_{n}=1+(n - 1)×2$。
展开$1+(n - 1)×2$得$b_{n}=1 + 2n-2=2n - 1$。
4. 最后求$a_{n}$：
因为$b_{n}=\frac{1}{a_{n}}$，所以$a_{n}=\frac{1}{b_{n}}$。
把$b_{n}=2n - 1$代入得$a_{n}=\frac{1}{2n - 1}$。
故$a_{n}=\frac{1}{2n - 1}$。