《2026年学易优高考二轮总复习数学》

(1)(2025·湛江调研)某企业面试环节准备编号为 1，2，3，4 的四道试题，编号为 1，2，3，4 的四名面试者分别回答其中的一道试题(每名面试者回答的试题互不相同)，则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有(A)

A.9 种
B.10 种
C.11 种
D.12 种

答案： 训练1　
(1)A　根据题意分析可得，面试者1可以从编号为2,3,4的三道试题中任选一道，假设选编号为2的试题，则面试者2可以从剩下的3道试题中任选一道，假设选编号为3的试题，而面试者3只能选编号为4的试题，面试者4只能选编号为1的试题，可知面试者1选编号为2的试题时有3种符合题意的选法；同理，面试者1选编号为3或4的试题时，都有3种符合题意的选法，故每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有$3+3+3=9$种。故选A。

(2)(2025·重庆九龙坡三模)“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字组成.若从 1，4，2，8，5，7 这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于 5700 的偶数个数是(B)

A.66
B.75
C.78
D.90

答案：
(2)B　若千位数字是5，则百位数字只能是7或8，故共有$C_{2}^{1}C_{3}^{1}+C_{2}^{1}C_{3}^{1}=15$(个)；若千位数字是7，则共有$C_{3}^{1}A_{2}^{2}=36$(个)；若千位数字是8，则共有$C_{1}^{1}A_{2}^{2}=24$(个)。故符合条件的四位数共有$15+36+24=75$(个)。故选B。

例 2 (1)(2025·山东枣庄二模)子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这 5 个字的卡片(颜色均不同)各 2 张，同学甲从中抽取 4 张卡片分给另外 4 位同学，每人一张卡片，恰有 2 位同学分到的卡片是相同字的分配方案有(D)

A.120 种
B.210 种
C.1440 种
D.2880 种

答案： [例2]　
(1)D　先把字相同的卡片看成一组，
　第一步：从这5组中选出一组。
　第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片。
　第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学。
　所以不同的分配方案有$C_{5}^{1}C_{4}^{2}C_{2}^{1}C_{1}^{1}A_{4}^{4}=2880$种。故选D。

(2)(2025·杭州模拟)将 5 名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少 1 名志愿者，则不同的分配方法数是(C)

A.300
B.240
C.150
D.50

答案：
(2)C　先将5名志愿者分成3组，若这三组的人员构成为1、1、3，则共有$\frac{C_{5}^{1}C_{4}^{1}}{A_{2}^{2}}$种分组方案，若这三组的人员构成为1、2、2，则共有$\frac{C_{5}^{2}C_{3}^{2}}{A_{2}^{2}}$种分组方案，再将这3组志愿者随机分配到三个社区，共有$A_{3}^{3}$种分配方案，故共有$(\frac{C_{5}^{1}C_{4}^{1}}{A_{2}^{2}}+\frac{C_{5}^{2}C_{3}^{2}}{A_{2}^{2}}) · A_{3}^{3}=(\frac{5 × 4}{2}+\frac{10 × 3}{2}) × 6=150$种分配方法。

(1)(2025·兰州诊断)将 8 个数学竞赛名额全部分给 4 个不同的班，每个班至少有 1 个名额，则不同的分配方案种数为(B)

A.15
B.35
C.56
D.70

答案： 训练2　
(1)B　将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，可类比为用3个隔板插入8个小球中间的空隙中，将球分成4堆。
　由于8个小球中间共有7个空隙，因此共有$C_{7}^{3}=35$种不同的分法。

(2)(2025·广东广州三模)某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的 6 名学生随机分配到 3 个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配 1 人，则恰好甲、乙两人(仅有两人)打扫同一个办公室的情况有42种(用数字作答).

答案：
(2)42　6名学生随机分配到3个不同的办公室，有2,2,2和3,2,1两种情况。
　当按照2,2,2分配时，甲乙两人(仅有两人)打扫同一个办公室，先选一个办公室给甲乙两人，有$C_{3}^{1}$种方法，将剩余的4人平均分配到两个办公室，有$\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}A_{2}^{2}$种方法，此时，共有$\frac{C_{3}^{1}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}A_{2}^{2}=18$种情况。当按照3,2,1分配时，先选一个办公室给甲乙两人，有$C_{3}^{1}$种方法，将剩余的4人按照1,3分配到两个办公室，有$\frac{C_{4}^{1}C_{3}^{3}}{A_{2}^{2}}A_{2}^{2}$种方法，此时，共有$\frac{C_{3}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{3}}{A_{2}^{2}}A_{2}^{2}=24$种情况。综上，共有$18+24=42$种情况。故答案为42。

例 3 (1)(多选)(2025·镇江调研)下列说法正确的是(ABD)

A.若$(2x - 1)^{10} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ·s + a_{10}x^{10}$，则$|a_1| + |a_2| + ·s + |a_{10}| = 3^{10} - 1$
B.$1.05^{10}$精确到 0.1 的近似数为 1.6
C.$55^{55}$被 8 整除的余数为 1
D.$C_{9}^{0}2^{9} + C_{9}^{1}2^{8} + ·s + C_{9}^{9} = 3^{9}$

答案： [例3]　
(1)ABD　$(2x-1)^{10}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+·s+a_{10}x^{10}$，令$x=0$，则$a_{0}=1$，易知$a_{1},a_{3},a_{5},a_{7},a_{9}$为负数，$a_{2},a_{4},a_{6},a_{8},a_{10}$为正数。令$x=-1$，则$3^{10}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-·s -a_{9}+a_{10}$，故$\vert a_{1}\vert+\vert a_{2}\vert+·s+\vert a_{10}\vert=-a_{1}+a_{2}-·s -a_{9}+a_{10}=3^{10}-1$，故A正确；$1.05^{10}=(1+0.05)^{10}=C_{10}^{0} × 0.05^{0}+C_{10}^{1} × 0.05^{1}+·s+C_{10}^{10} × 0.05^{10}=1+0.5+0.1125+·s=1.5+0.1125+·s$，故$1.05^{10}$精确到0.1的近似数为1.6，B正确；$55^{55}=(56-1)^{55}=C_{55}^{0} × 56^{55}-C_{55}^{1} × 56^{54}+C_{55}^{2} × 56^{53}-·s+C_{55}^{54} × 56^{1}-C_{55}^{55} × 56^{0}$，由此可得$55^{55}$被8整除的余数为$8-1=7$，C错误；$C_{9}^{2}9^{9}+C_{9}^{2}8^{8}+·s+C_{9}^{9}=(2+1)^{9}=3^{9}$，D正确。故选ABD。