《2026年学易优高考二轮总复习数学》

例 4 (2025·成都诊断)在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是边长为 $4$ 的正方形，$\angle PBA = \angle PBC$，$PD\perp AD$，$Q$ 为正方形 $ABCD$ 内一动点(不含边界)，且满足 $QA\perp QP$，若 $PD = 2$，则三棱锥 $Q - PBC$ 的体积的最小值为(B)

A.$3$
B.$\frac{8}{3}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$2$

答案： B　如图，因为$\angle PBA=\angle PBC$，$AB = CB$，$PB = PB$，
所以$\triangle PAB\cong\triangle PCB$，所以$PA = PC$，
又$AD = CD$，$PD = PD$，所以$\triangle PAD\cong\triangle PCD$，所以$\angle PDC=\angle PDA$，
因为$PD\perp AD$，所以$PD\perp CD$.
又$AD\cap CD = D$，$AD,CD\subset$平面$ABCD$，
所以$PD\perp$平面$ABCD$.
连接$QD$，因为$AQC$平面$ABCD$，
所以$PD\perp AQ$，
又$QA\perp QP,QP\cap PD = P$，$QP,PD\subset$平面$PDQ$，所以$AQ\perp$平面$PDQ$，
又$QDC$平面$PDQ$，所以$AQ\perp QD$，
故点$Q$在以$AD$为直径的半圆上（不包含$A,D$两点）.
又$V_{Q - PBC}=V_{P - QBC}=\frac{1}{3}S_{\triangle QBC}· PD$，
所以当$S_{\triangle QBC}$最小，即点$Q$到$BC$的距离最小，即点$Q$是半圆弧$AD$的中点时，三棱锥$Q - PBC$的体积最小，
故三棱锥$Q - PBC$的体积的最小值为$\frac{1}{3}× \frac{1}{2}× 4× 2× 2=\frac{8}{3}$.故选B.

训练 2 (1)(2025·北京大兴三模)《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体。如图，在羡除 $ABCDEF$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，$EF//$ 平面 $ABCD$，$EF = 2$，其余棱长都为 $1$，则这个几何体的体积为(D)

A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$

答案：

(1)D　连接$AC,BD$交于点$M$，取$EF$的中点为$O$，则$OM\perp$平面$ABCD$，
由$EF = 2$，其余棱长都为1，所以$OM=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
取$BC$的中点为$G$，连接$FG$，则$FG\perp BC$，过$O$作$ON\perp FG$，
则$ON\perp$平面$BCF$，如图所示，

由题意可知，$FG=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$FN=\frac{\sqrt{3}}{2}× \frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$OG=\sqrt{OF^{2}-FN^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
所以$V=\frac{1}{3}× 1× 1× \frac{\sqrt{2}}{2}+2× \frac{1}{3}× \frac{\sqrt{3}}{4}× 1^{2}× \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}$.故选D.

(2)紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间。紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等。其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：$cm$)，现在向这个空石瓢壶中加入 $91\pi\ cm^3$ 的矿泉水后，问石瓢壶内水深为3$cm$(C)


A.$2.8$
B.$2.9$
C.$3$
D.$3.1$

答案：

(2)C　由题知矿泉水的体积为$91\pi cm^{3}$，将圆台的中轴面拿出，补全为一个三角形，如图所示.
加入矿泉水后，记石瓢壶内水深为$h$，水平面半径为$r$，

由图可知$\triangle ABC\sim\triangle AFG$，所以$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FG}$，
即$\frac{AB}{AB + 6}=\frac{2}{3}$，解得$AB = 12$.
由$\triangle ABC\sim\triangle ADE$，得$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，即$\frac{12}{18 - h}=\frac{4}{r}$，解得$h = 18 - 3r$.
故加入矿泉水后圆台的体积为$V=\frac{1}{3}\pi(18 - 3r)(6^{2}+6r + r^{2}) = 91\pi$，
解得$r=\sqrt[3]{125}=5$，所以$h = 18 - 3r = 3$.

1. (2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为$3\sqrt{3}$和$4\sqrt{3}$，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(A)

A.$100\pi$
B.$128\pi$
C.$144\pi$
D.$192\pi$

答案： 1.A　设正三棱台上下底面所在圆面的半径分别为$r_1$，$r_2$，所以$2r_1=\frac{3\sqrt{3}}{\sin60°}$，$2r_2=\frac{4\sqrt{3}}{\sin60°}$，即$r_1=3$，$r_2=4$。设球心到上下底面的距离分别为$d_1$，$d_2$，球的半径为$R$，所以$d_1=\sqrt{R^2 - 9}$，$d_2=\sqrt{R^2 - 16}$。故$\vert d_1 - d_2\vert = 1$或$d_1 + d_2 = 1$，即$\vert\sqrt{R^2 - 9} - \sqrt{R^2 - 16}\vert = 1$或$\sqrt{R^2 - 9} + \sqrt{R^2 - 16} = 1$，解得$R^2 = 25$符合题意，所以球的表面积为$S = 4\pi R^2 = 100\pi$。

2. (2022·全国乙卷)已知球$O$的半径为1，四棱锥的顶点为$O$，底面的四个顶点均在球$O$的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(C)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 2.C　设该四棱锥底面为四边形$ABCD$，高为$h$，四边形$ABCD$所在小圆半径为$r$。设四边形$ABCD$对角线夹角为$\alpha$，则$S_{ABCD}=\frac{1}{2}· AC· BD·\sin\alpha\leqslant\frac{1}{2}· AC· BD\leqslant\frac{1}{2}· 2r· 2r = 2r^2$（当且仅当四边形$ABCD$为正方形时等号成立），即当四棱锥的顶点$O$到底面$ABCD$所在小圆距离一定时，底面$ABCD$面积最大值为$2r^2$。又$r^2 + h^2 = 1$，则$V_{O - ABCD}=\frac{1}{3}· 2r^2· h=\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{r^2· r^2· 2h^2}\leqslant\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{(\frac{r^2 + r^2 + 2h^2}{3})^3}=\frac{4\sqrt{3}}{27}$，当且仅当$r^2 = 2h^2$即$h=\frac{\sqrt{3}}{3}$时等号成立。故选C。

3. (2023·全国甲卷)在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$E,F$分别为$AB,C_1D_1$的中点.以$EF$为直径的球的球面与该正方体的棱共有12个公共点.

答案：
3.12　如图，线段$EF$过正方体的中心，所以以$EF$为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为$\frac{EF}{2}$，而正方体的中心到每一条棱的距离均为$\frac{EF}{2}$，所以以$EF$为直径的球与每一条棱均相切，所以共有12个公共点。

4. (2025·全国二卷)一个底面半径为$4$cm，高为$9$cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

答案：
2.5 设铁球半径为$r\mathrm{cm}$，若两个铁球的球心在竖直方向 上，且分别与两个底面相切，则铁球球心与圆柱上、下底面 的距离均为$r$，此时铁球的半径为$\frac{9}{4}\mathrm{cm}$. 当两球球心不在竖直方向上时，设两个铁球的球心分别为 $O_1$，$O_2$，此种情况下，当铁球半径最大时，如图1所示，圆柱 与两铁球的轴截面如图2所示，其中$ABCD$为圆柱的轴截 面，$O_2P\perp AB$，$O_1P\perp AD$，则有$O_2P=9-2r$，$O_1P=8-2r$， $O_1O_2=2r$，则有$(2r)^2=(8-2r)^2+(9-2r)^2$，即$4r^2-$ $68r+145=0$， 即$(2r-29)(2r-5)=0$，解得$r_1=14.5$（舍去），$r_2=2.5$. 

因为$2.5>\frac{9}{4}=2.25$，所以铁球半径的最大值为$2.5\mathrm{cm}$.