《2025年金版新学案高三总复习物理》

考向
1. 万有引力定律的应用
例1 火星的质量约为地球质量的 $\frac{1}{10}$，半径约为地球半径的 $\frac{1}{2}$，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（ ）

A.0.2
B.0.4
C.2.0
D.2.5

答案： 例1 B 万有引力表达式为$F = G\frac{Mm}{r^{2}}$，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为$\frac{F_{火}}{F_{地}}=\frac{M_{火}}{M_{地}}·\frac{r_{地}^{2}}{r_{火}^{2}} = 0.4$，故B正确。

2. 重力与万有引力的关系
例2 人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。若一头质量为 $m$ 的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为 $\Delta F$。已知地球自转周期为 $T$。根据以上信息，可求出地球的半径为（ ）

A.$\frac{T^{2} · \Delta F}{4 \pi^{2} m}$
B.$\frac{T^{2} · \Delta F}{2 \pi^{2} m}$
C.$\frac{m T^{2} · \Delta F}{4 \pi^{2}}$
D.$\frac{m T^{2}}{4 \pi^{2} · \Delta F}$

答案： 例2 A 设地球的质量为$m_{地}$，半径为$R$，北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，即$\frac{Gm_{地}m}{R^{2}}-mg = m(\frac{2\pi}{T})^{2}R$，北极熊在北极时，有$\frac{Gm_{地}m}{R^{2}}=mg'$，根据题意，有$\Delta F = m(\frac{2\pi}{T})^{2}R$，得$R = \frac{T^{2}·\Delta F}{4\pi^{2}m}$，A正确，B、C、D错误。

3. “地上”与“地下”某处重力加速度的比较
例3 如图是某地区打出的一口深度为 $d$ 的水井，如果质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球可以看作是质量分布均匀的球体，地球半径为 $R$，则水井底部和离地面高度为 $d$ 处的重力加速度大小之比为（ ）


A.$\frac{R - d}{R}$
B.$\frac{(R^{2} - d^{2})(R + d)}{R^{3}}$
C.$\frac{R^{2} - d^{2}}{R}$
D.$\frac{(R^{2} - d^{2})(R + d)}{R^{2}}$

答案： 例3 B 根据万有引力定律得，地球表面上的重力加速度为$g=\frac{GM}{R^{2}}$，设离地面高度为$d$处的重力加速度为$g'$，由万有引力定律有$g'=\frac{GM}{(R + d)^{2}}$，两式联立可得$g'=\frac{R^{2}g}{(R + d)^{2}}$。在地面上质量为$m$的物体，根据万有引力有$\frac{GMm}{R^{2}}=mg$，式中$M=\rho·\frac{4}{3}\pi R^{3}$，从而可得$g = G\rho·\frac{\frac{4}{3}\pi R^{3}}{R^{2}}=G\rho·\frac{4}{3}\pi R$；根据题意，水井底部的物体只受到球体内半径为$(R - d)$的球体对它的引力，同理有$g''=\frac{GM'}{(R - d)^{2}}$，式中$M'=\rho·\frac{4}{3}\pi(R - d)^{3}$，联立可得$g''=\frac{R - d}{R}g$。所以$\frac{g}{g'}=\frac{(R^{2}-d^{2})(R + d)}{R^{3}}$，故B正确。

例4 （多选）（2024·河南商丘市模拟）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 $t$ 小球落回原处。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 $5t$ 小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为 $R_{星} : R_{地} = 1 : 4$，地球表面重力加速度为 $g$，设该星球表面附近的重力加速度大小为 $g'$，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响。则（ ）

A.$g' : g = 1 : 5$
B.$g' : g = 5 : 2$
C.$M_{星} : M_{地} = 1 : 80$
D.$\rho_{星} : \rho_{地} = 4 : 5$

答案： 例4 ACD 设抛球的初速度为$v_{0}$，由对称性可知竖直上抛的小球在地球上上抛至落回原处所用的时间$t=\frac{2v_{0}}{g}$，可得$g=\frac{2v_{0}}{t}$，同理，可得$g'=\frac{2v_{0}}{5t}$，因此$\frac{g}{g'}=\frac{t}{5t}=\frac{1}{5}$，选项A正确，B错误；由$G\frac{m_{地}m}{R_{地}^{2}}=mg$得$M_{地}=\frac{gR_{地}^{2}}{G}$，同理，$M_{星}=\frac{g'R_{星}^{2}}{G}$，则$\frac{M_{星}}{M_{地}}=\frac{g'R_{星}^{2}}{gR_{地}^{2}}=\frac{1}{5}×(\frac{1}{4})^{2}=\frac{1}{80}$，选项C正确；由密度$\rho=\frac{M}{V}$，可得$\rho_{星}:\rho_{地}=4:5$，故D正确。故选ACD。