《2025年金版新学案高三总复习物理》

例 6 （2024·河南郑州联考）现有 $A$、$B$ 两列火车在同一轨道上同向匀速行驶，$A$ 车在前，其速度 $v_{A} = 10m/s$，$B$ 车速度 $v_{B} = 40m/s$。因大雾能见度低，$B$ 车在距 $A$ 车 $d = 900m$ 时才发现前方有 $A$ 车，此时 $B$ 车立即刹车，但 $B$ 车要减速 $2000m$ 才能够停止。
（1）$B$ 车刹车后减速运动的加速度多大？
（2）$B$ 车刹车 $t_{1} = 20s$ 后，两车距离多少？
（3）$B$ 车刹车 $t_{2} = 30s$ 后，$A$ 车开始匀加速，则至少以多大加速度加速前进才能避免事故？

答案：
(1)$0.4\ m/s^{2}$
(2)$380\ m$
(3)$0.5\ m/s^{2}$
解析：
(1)设B车减速运动的加速度大小为$a_{2}$，则有$0 - v_{B}^{2} = - 2a_{2}x_{1}$
解得$a_{2} = \frac{v_{B}^{2}}{2x_{1}} = \frac{40^{2}}{2 × 2000}\ m/s^{2} = 0.4\ m/s^{2}$。
(2)B车从刹车到停止的时间为$t' = \frac{v_{B}}{a_{2}} = \frac{40}{0.4}\ s = 100\ s$
B车刹车$t_{1} = 20\ s$运动的位移为$x_{1} = v_{B}t_{1} - \frac{1}{2}a_{2}t_{1}^{2} = 720\ m$
B车刹车$t_{1} = 20\ s$，A车运动的位移大小$x_{2} = v_{A}t_{1} = 10 × 20\ m = 200\ m$
B车刹车$t_{1} = 20\ s$后，两车的距离$\Delta r = d + x_{2} - x_{1} = 900\ m + 200\ m - 720\ m = 380\ m$。
(3)B车刹车$t_{2} = 30\ s$后，B车运动的速度$v_{B}' = v_{B} - a_{2}t_{2} = 40\ m/s - 0.4 × 30\ m/s = 28\ m/s$
B车运动的位移$x_{3} = v_{B}t_{2} - \frac{1}{2}a_{2}t_{2}^{2} = 1020\ m$
A车运动的位移$x_{4} = v_{A}t_{2} = 300\ m$
A、B两车的距离为$d' = d + x_{4} - x_{3} = 180\ m$
为保证两车恰好不相撞，则B车追上A车时两车速度恰好相等
设A车加速时间$t$时两车的速度相同，有$v_{B}' - a_{2}t = v_{A} + a_{1}t$，$x_{B} = v_{B}'t - \frac{1}{2}a_{2}t^{2}$，$x_{B} - x_{A} = d'$
解得$a_{A} = 0.5\ m/s^{2}$。

例 7 （多选）（2021·海南卷·T10）甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，$t = 0$ 时经过路边的同一路标，下列位移—时间 $(x - t)$ 图像和速度—时间 $(v - t)$ 图像对应的运动中，甲、乙两人在 $t_{0}$ 时刻之前能再次相遇的是（ ）

答案： BC 题图A中，甲、乙在$t_{0}$时刻之前图像没有交点，即两人在$t_{0}$时刻之前不能相遇，选项A错误；题图B中，甲、乙在$t_{0}$时刻之前图像有交点，即在交点时位移相等，两人在$t_{0}$时刻之前能再次相遇，选项B正确；因$v - t$图像的面积等于位移，则题图C中甲、乙在$t_{0}$时刻之前面积有相等的时刻，即两人在$t_{0}$时刻之前能再次相遇，选项C正确；因$v - t$图像的面积等于位移，由题图D可知$t_{0}$时刻之前，甲的位移始终大于乙的位移，则两人不能相遇，选项D错误。

针对练. （2024·山东德州月考）物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，$A$ 小车安装加速度传感器，$B$ 小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为 $v_{0} = 30m/s$，$A$ 车在前、$B$ 车在后，两车相距 $100m$，其传感器读数与时间的函数关系图像分别如图甲、乙所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是（ ）


A.$t = 3s$ 时两车间距离为 $25m$
B.$3\sim9s$ 内，$A$ 车的加速度大于 $B$ 车的加速度
C.两车最近距离为 $10m$
D.$0\sim9s$ 内两车相遇一次

答案： C 在$0\sim3\ s$内A车做匀减速运动，A车减速到零所需时间$t_{A} = \frac{v_{0}}{a_{A1}} = 3\ s$，故在$t = 3\ s$时A车减速到零，A车前进的位移为$x_{A} = \frac{v_{0}}{2}t_{A} = \frac{20}{2} × 3\ m = 30\ m$，B车前进的位移为$x_{B} = v_{0}t_{A} = 20 × 3\ m = 60\ m$，$t = 3\ s$时两车间距离为$\Delta r = d + x_{A} - x_{B} = 12\ m + 30\ m - 60\ m = - 18\ m$，即在$t = 3\ s$时B车已经超过A车，故A错误；由题图可知在$3\sim9\ s$内A车的加速度为$a_{A2} = 5\ m/s^{2}$，$v - t$图像的斜率表示加速度，则$a_{B} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = - 5\ m/s^{2}$，则A、B两车的加速度大小相等，故B错误；$t = 3\ s$后，A车开始由静止做匀加速运动，B车开始做匀减速运动，$3\sim9\ s$的过程中，设经历时间$t$两者速度相同，则$v_{共} = a_{A2}t = v_{0} + a_{B}t$，解得$t = 3\ s$，$v_{共} = 15\ m/s$，A车在$3\sim6\ s$内前进的位移$x_{1} = \frac{v_{共}}{2}t = 22.5\ m$，B车前进的位移为$x_{2} = \frac{v_{0} + v_{共}}{2}t = 52.5\ m$，故两车相距的最小距离，则$\Delta x_{min} = \Delta x + x_{1} - x_{2} = 10\ m$，此后A车的速度大于B车的速度，两者间的距离开始增大，不可能再相遇，故C正确，D错误。

例 8 据统计，城市交通事故大多数因违章引起。如图所示，甲、乙两车分别在相互垂直的道路上沿各自道路的中心线向前匀速行驶，当甲、乙两车的车头到十字路口（道路中心线）的距离分别为 $30m$、$40m$ 时，道口恰处于红、绿灯转换，甲、乙两车均未采取任何减速或制动等措施，仍匀速行驶，以致两车相碰。已知两车型号相同，车的车长为 $3.2m$，车宽为 $1.76m$，并已知甲车的速度为 $40km/h$，则在穿过路口过程中，乙车速度的范围约为（ ）


A.$45.9km/h\leqslant v\leqslant60.5km/h$
B.$40km/h\leqslant v\leqslant60km/h$
C.$24.3km/h\leqslant v\leqslant33.3km/h$
D.$v\leqslant63.3km/h$

答案：
A 设车长为$L$，车宽为$d$，乙车速度最大时，乙车车尾与甲车的车头相碰，如图1，则$\frac{x_{甲} - \frac{d}{2}}{v_{甲}} = \frac{x_{乙} + L + \frac{d}{2}}{v_{乙,max}}$，解得$v_{乙,max} \approx 60.5\ km/h$；

当乙车速度最小时，乙车车头与甲车的车尾相碰，如图2，则$\frac{x_{甲} + L + \frac{d}{2}}{v_{甲}} = \frac{x_{乙} - \frac{d}{2}}{v_{乙,min}}$，解得$v_{乙,min} \approx 45.9\ km/h$，即乙车的速度范围为$45.9\ km/h \leq v \leq 60.5\ km/h$，故选A。

504 高三总复习·物理