《2025年金版新学案高三总复习物理》

例4（多选）（2024·福建泉港二中模拟）我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图所示，实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度分别为$B_{1}$、$B_{2}$，两圆半径均为$r$，相切于$O$点。一束宽度为$2r$的带电粒子流沿$x$轴正方向射入后都汇聚到坐标原点$O$。已知粒子的质量均为$m$、电荷量均为$+q$、进入磁场的速度均为$v$，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（ ）

A.$B_{1}$的大小为$\frac{mv}{qr}$
B.从$O$点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相同
C.若$B_{2}=2B_{1}$，则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在四分之一圆周上
D.若$B_{2}=0.5B_{1}$，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为$\frac{2\pi r}{3v}$

答案：
AD 由磁聚焦的特点可知，粒子在磁场中的运动半径与磁场圆的半径相等，即$qvB_{1} = m\frac{v^{2}}{r}$，解得$B_{1} = \frac{mv}{qr}$，故A正确；洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向不改变其速度的大小，其速度大小相等，但速度的方向不同，故B错误；若$B_{2} = 2B_{1}$，则$r_{2} = \frac{mv}{B_{2}q} = \frac{1}{2}r$，可知粒子离开磁场Ⅱ最远的位置离原点$O$为$r$，如图甲所示，由几何关系可知，弦对磁场Ⅱ的最大圆心角为$60^{\circ}$，故粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上，故C错误；若$B_{2} = 0.5B_{1}$，则$r_{2} = \frac{mv}{B_{2}q} = 2r$，由此可知，粒子离开磁场Ⅱ运动轨迹的弦越长，圆心角越大，运动的时间越长，如图乙所示，粒子在磁场中运动轨迹的最大圆心角为$60^{\circ}$，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为$t = \frac{1}{6} × \frac{2\pi · 2r}{v} = \frac{2\pi r}{3v}$，故D正确。

针对练.（多选）（2024·安徽淮北二模）在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带电粒子的运动。如图所示，正方形$abcd$边长为$L$，一束相同的正离子以相同的速度$v$垂直$ab$边射入，如果在$abcd$的某区域内存在着磁感应强度大小为$B$、方向垂直纸面的匀强磁场，最终所有离子均从$c$点射出，则（ ）


A.磁场方向垂直纸面向里
B.离子的比荷为$\frac{v}{BL}$
C.磁场区域的最小面积为$\frac{\pi L^{2}}{4}$
D.离子在磁场中运动的最长时间为$\frac{\pi L}{2v}$

答案：
BD 离子向下偏转，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误；画出离子的运动轨迹如图所示，可知为磁聚焦模型，故运动半径$r = L$，再由$qvB = m\frac{v^{2}}{r}$，解得$\frac{q}{m} = \frac{v}{BL}$，故B正确；磁场区域最小面积为“叶”型面积$S = 2(\frac{\pi L^{2}}{4} - \frac{L^{2}}{2})$，故C错误；离子轨迹的最大圆心角为$\frac{\pi}{2}$，则最长时间为$t = \frac{\frac{\pi}{2}L}{v} = \frac{\pi L}{2v}$，故D正确。