《2025年金版新学案高三总复习物理》

例 2（多选）
如图所示，$ M $、$ N $、$ P $、$ Q $ 四条光滑的足够长的金属导轨平行放置，导轨间距分别为 $ 2L $ 和 $ L $，两组导轨间由导线相连，装置置于水平面内，导轨间存在方向竖直向下的、磁感应强度大小为 $ B $ 的匀强磁场，两根质量均为 $ m $、接入电路的电阻均为 $ R $ 的导体棒 $ C $、$ D $ 分别垂直于导轨放置，且均处于静止状态，其余部分电阻不计。$ t = 0 $ 时使导体棒 $ C $ 获得瞬时速度 $ v_0 $ 向右运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并与导轨接触良好。且达到稳定运动时导体棒 $ C $ 未到两组导轨连接处。则下列说法正确的是（ ）


A.$ t = 0 $ 时，导体棒 $ D $ 的加速度大小为 $ a = \frac{B^2L^2v_0}{mR} $
B.达到稳定运动时，$ C $、$ D $ 两棒的速度之比为 $ 1:1 $
C.从 $ t = 0 $ 至达到稳定运动的过程中，回路产生的内能为 $ \frac{2}{5}mv_0^2 $
D.从 $ t = 0 $ 到达到稳定运动的过程中，通过导体棒的电荷量为 $ \frac{2mv_0}{5BL} $

答案： ACD 开始时，导体棒中的感应电动势$E = 2BLv_{0}$，电路中感应电流$I = \frac{E}{2R}$，导体棒D所受安培力$F = ILB$，设此时导体棒D的加速度为$a$，则有$F = ma$，解得$a = \frac{B^{2}L^{2}v_{0}}{mR}$，故A正确；稳定运动时，电路中电流为零，设此时导体棒C、D的速度分别为$v_{1}$、$v_{2}$，则有$2BLv_{1} = BLv_{2}$，由动量定理，对导体棒C有$- \overline{I} · 2LB\Delta t = mv_{1} - mv_{0}$，对导体棒D有$\overline{I}LB\Delta t = mv_{2}$，解得$v_{1} = \frac{1}{5}v_{0}$，$v_{2} = \frac{2}{5}v_{0}$，故B错误；根据能量守恒定律可知回路产生的内能为$Q = \frac{1}{2}mv_{0}^{2} - \frac{1}{2}mv_{1}^{2} - \frac{1}{2}mv_{2}^{2}$，解得$Q = \frac{2}{5}mv_{0}^{2}$，故C正确；由动量定理对导体棒C有$- \overline{I} · 2LB\Delta t = mv_{1} - mv_{0}$，又$q = \overline{I}\Delta t$，解得$q = \frac{2mv_{0}}{5BL}$，故D正确。

例 3
如图所示，两根间距为 $ l $ 的光滑金属导轨（不计电阻），由一段圆弧部分与一段无限长的水平部分组成，其水平段加有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为 $ B $。导轨水平段上静止放置一金属棒 $ cd $，质量为 $ 2m $，电阻为 $ 2r $。另一质量为 $ m $、电阻为 $ r $ 的金属棒 $ ab $，从圆弧段 $ M $ 处由静止释放下滑至 $ N $ 处进入水平段，棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧段 $ MN $ 半径为 $ R $，所对圆心角为 $ 60° $，重力加速度为 $ g $。求：
(1) $ ab $ 棒在 $ N $ 处进入磁场区的速度大小和棒中的电流大小；
(2) $ cd $ 棒能达到的最大速度；
(3) $ cd $ 棒由静止到最大速度过程中，系统所能释放的热量。

答案：
(1)$\sqrt{gR}$ $\frac{BL\sqrt{gR}}{3r}$
(2)$\frac{1}{3}\sqrt{gR}$
(3)$\frac{1}{3}mgR$
解析：
(1)ab棒由M下滑至N过程中机械能守恒，有$mgR(1 - \cos 60^{\circ}) = \frac{1}{2}mv^{2}$
解得$v = \sqrt{gR}$
进入磁场瞬间，ab棒产生的感应电动势$E = Blv$
则回路中的电流为$I = \frac{E}{2r + r} = \frac{Bl\sqrt{gR}}{3r}$
(2)ab棒在安培力作用下做减速运动，cd棒在安培力作用下做加速运动，当两棒速度达到相同速度$v'$时，电路中电流为零，安培力为零，cd棒达到最大速度。由动量守恒定律得$mv = (2m + m)v'$，解得$v' = \frac{1}{3}\sqrt{gR}$。
(3)系统释放的热量应等于系统机械能的减少量，则$Q = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2} × 3mv'^{2}$
解得$Q = \frac{1}{3}mgR$。