《2025年金版新学案高三总复习物理》

针对练. 如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道 1，再进入圆轨道 2，圆轨道 1 的半径为 $ R $，圆轨道 2 的半径是轨道 1 的 1.8 倍，小球的质量为 $ m $，若小球恰好能通过轨道 2 的最高点 $ B $，则小球在轨道 1 上经过其最高点 $ A $ 时对轨道的压力大小为(重力加速度为 $ g $)（ ）


A.$ 2mg $
B.$ 3mg $
C.$ 4mg $
D.$ 5mg $

答案： C 小球恰好能通过轨道 2 的最高点 B 时，有$mg=\frac{mv_{B}^{2}}{1.8R}$，小球在轨道 1 上经过其最高点 A 时，有$F_{N}+mg=\frac{mv_{A}^{2}}{R}$，根据机械能守恒定律，有$1.6mgR=\frac{1}{2}mv_{A}^{2}-\frac{1}{2}mv_{B}^{2}$，解得$F_{N}=4mg$，根据牛顿第三定律可知，小球在轨道 1 上经过其最高点 A 时对轨道的压力大小为$4mg$，故 C 正确。

考向② 轻杆模型
例3 (2024·北京丰台模拟)如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。$ MN $ 为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为 $ g $。下列说法正确的是（ ）


A.管道的半径为 $ bg $
B.小球质量为 $ \dfrac{a}{g} $
C.小球在 $ MN $ 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
D.小球在 $ MN $ 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

答案： B 由题图乙可知，当$v^{2}=b$时，$F_{N}=0$，有$mg=\frac{mv^{2}}{R}$，解得$R=\frac{b}{g}$，故 A 错误；当$v^{2}=0$时，$F_{N}=mg=a$，解得$m=\frac{a}{g}$，故 B 正确；小球在水平线 MN 以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外侧管壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有作用力，故 C 错误；小球在水平线 MN 以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，所以可能是外侧管壁对小球有作用力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能内外侧管壁对小球均无作用力，故 D 错误。

针对练. 如图所示，轻杆长 $ 3L $，在杆两端分别固定质量均为 $ m $ 的球 $ A $ 和 $ B $，光滑水平转轴穿过杆上距球 $ A $ 为 $ L $ 处的 $ O $ 点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球 $ B $ 运动到最高点时，杆对球 $ B $ 恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为 $ g $，则球 $ B $ 在最高点时（ ）


A.球 $ B $ 的速度为零
B.球 $ A $ 的速度大小为 $ \sqrt{2gL} $
C.水平转轴对杆的作用力为 $ 1.5mg $
D.水平转轴对杆的作用力为 $ 2.5mg $

答案： C 球 B 运动到最高点时，杆对球 B 恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有$mg=\frac{v^{2}}{2L}$，解得$v=\sqrt{2gL}$，故 A 错误；由于 A、B 两球的角速度相等，由$v = \omega r$可知，球 A 的速度大小$v'=\frac{\sqrt{2gL}}{2}$，故 B 错误；球 B 到最高点时，对杆无弹力，此时球 A 由所受重力和拉力的合力提供向心力，有$F - mg=\frac{mv'^{2}}{L}$，解得$F = 1.5mg$，故 C 正确，D 错误。

考向③ 凹形桥、凸形桥模型
例4 (多选)汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，如图所示的 $ A $、$ B $、$ C $ 处，其中 $ B $ 处的曲率半径最大，$ A $ 处的曲率半径为 $ \rho_1 $，$ C $ 处的曲率半径为 $ \rho_2 $，$ A $、$ B $、$ C $ 三处的切线均水平，重力加速度为 $ g $。若有一辆可视为质点、质量为 $ m $ 的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为 $ \mu $，当该车以恒定的速率 $ v $ 沿这段凹凸路面行驶时，下列说法正确的是（ ）


A.汽车经过 $ A $ 处时处于失重状态，经过 $ C $ 处时处于超重状态
B.汽车经过 $ B $ 处时最容易爆胎
C.为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过 $ \sqrt{g\rho_1} $
D.汽车经过 $ C $ 处时所受的摩擦力大小为 $ \mu mg $

答案： AC 小车经过 A 处时具有向下指向圆心的向心加速度，处于失重状态，经过 C 处时具有向上指向圆心的向心加速度，处于超重状态，A 正确；在 B、C 处均受向下的重力和向上的弹力，由牛顿第二定律有$F_{N}-mg=\frac{mv^{2}}{R}$，由牛顿第三定律可知，汽车对轨道的压力$F_{N}' = F_{N}=mg + \frac{mv^{2}}{R}＞mg$，所以在 B、C 处以同样的速率行驶时，R 越小，压力越大，越容易爆胎，故在半径较小的 C 处更容易爆胎，B 错误；汽车经过 C 处时所受的滑动摩擦力$F_{f}=\mu F_{N}=\mu(mg + \frac{mv^{2}}{\rho_{2}})$，D 错误；要使车安全行驶，不脱离地面，汽车经过 A 处恰不离开地面时，有$mg=\frac{mv^{2}}{\rho_{1}}$，解得$v=\sqrt{g\rho_{1}}$，即该车行驶的速度不得超过$\sqrt{g\rho_{1}}$，C 正确。故选 AC。