《2025年金版新学案高三总复习物理》

例5 （2024·江西卷·T14）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心$O$点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘$A$处固定连接一轻绳，轻绳另一端$B$连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为$\mu$，重力加速度为$g$，不计空气阻力。

(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度$\omega_{1}$匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕$O$点做半径为$r_{1}$的匀速圆周运动。求$AB$与$OB$之间夹角$\alpha$的正切值。
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕$O_{1}$点做半径为$r_{2}$的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为$\theta$，绳子在水平雪地上的投影$A_{1}B$与$O_{1}B$的夹角为$\beta$。求此时圆盘的角速度$\omega_{2}$。

答案：
(1)$\frac{\mu g}{\omega_1^2r_1}$
(2)$\sqrt{\frac{\mu g\sin\theta\cos\beta}{(\sin\theta\sin\beta + \mu\cos\theta)r_2}}$
解析：
(1)转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为$F_{T}$，转椅质量为$m$，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，则有$F_{T}\cos\alpha = m\omega_1^2r_1$，$\mu mg = F_{T}\sin\alpha$，联立解得$\tan\alpha = \frac{\mu g}{\omega_1^2r_1}$。
(2)设此时轻绳拉力为$F_{T}^\prime$，沿$A_1B$和垂直$A_1B$竖直向上的分力分别为$F_{T1} = F_{T}^\prime\sin\theta$，$F_{T2} = F_{T}^\prime\cos\theta$，对转椅根据牛顿第二定律得$F_{T1}\cos\beta = m\omega_2^2r_2$，沿切线方向$F_{T1}\sin\beta = \mu F_{N}$，竖直方向$F_{N} + F_{T2} = mg$，联立解得$\omega_2 = \sqrt{\frac{\mu g\sin\theta\cos\beta}{(\sin\theta\sin\beta + \mu\cos\theta)r_2}}$。

例6 （2024·河南平顶山质检）火车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为$R$，两铁轨之间的距离为$d$，内外轨的高度差为$h$，铁轨平面和水平面间的夹角为$\alpha$（$\alpha$很小，可近似认为$\tan\alpha\approx\sin\alpha$），重力加速度为$g$，下列说法正确的是（ ）


A.火车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B.火车过转弯处的速度$v=\sqrt{\dfrac{gRh}{d}}$时，火车轮缘不会挤压内轨和外轨
C.火车过转弯处的速度$v ＜ \sqrt{\dfrac{gRh}{d}}$时，火车轮缘会挤压外轨
D.若减小$\alpha$角，可提高火车安全过转弯处的速度

答案： B 火车以规定速度转弯时受到重力、支持力，重力和支持力的合力提供向心力，故A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，有$m\frac{v^2}{R} = mgtan\alpha \approx mgsin\alpha = mg\frac{h}{d}$，解得$v = \sqrt{\frac{gRh}{d}}$，火车轮缘不会挤压内轨和外轨，故B正确；火车过转弯处的速度$v ＜ \sqrt{\frac{gRh}{d}}$时，转弯所需的向心力$F ＜ mgtan\alpha$，此时火车轮缘挤压内轨，故C错误；若要提高火车安全通过转弯处的速度，需要增大能够提供的向心力，可以增大$\alpha$角，故D错误。