《2025年金版新学案高三总复习物理》

针对练.（多选）（2024·湖北卷·T10）
如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为 $M$、长为 $L$ 的木块，质量为 $m$ 的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小 $F_{\mathrm{f}}$ 与射入初速度大小 $v_0$ 成正比，即 $F_{\mathrm{f}}=kv_0$（$k$ 为已知常数）。改变子弹的初速度大小 $v_0$，若木块获得的速度最大，则（ ）


A.子弹的初速度大小为 $\frac{2kL(m+M)}{mM}$
B.子弹在木块中运动的时间为 $\frac{2mM}{k(m+M)}$
C.木块和子弹损失的总动能为 $\frac{k^2L^2(m+M)}{mM}$
D.木块在加速过程中运动的距离为 $\frac{mL}{m+M}$

答案： AD 子弹和木块相互作用过程中系统动量守恒，令子弹穿出木块后子弹和木块的速度分别为$v_1$、$v_2$，则有$mv_0 = mv_1 + Mv_2$，子弹和木块相互作用过程中合力都为$F_{f} = kv_0$，因此子弹和木块的加速度分别为$a_1=\frac{F_{f}}{m}$，$a_2=\frac{F_{f}}{M}$，由运动学公式可得子弹和木块的位移分别满足$2a_1x_1 = v_0^2 - v_1^2$，$2a_2x_2 = v_2^2$，联立上式可得$v_2 = v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2(\frac{kv_0}{m} + \frac{kv_0}{M})L}$，因此木块的速度最大即$v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2(\frac{k}{m} + \frac{k}{M})L}$取极值即可，该函数在$2(\frac{k}{m} + \frac{k}{M})L$到无穷大单调递减，因此当$v_0 = 2(\frac{k}{m} + \frac{k}{M})L = 2\frac{kL(M + m)}{Mm}$时木块的速度最大，A正确；由A项分析知，子弹穿过木块时木块的速度为$v_2 = \frac{mv_0}{M + m}$，由运动学公式$v_2 = a_2t$可得$t = \frac{mM}{k(m + M)}$，故B错误；由能量守恒可得子弹和木块损失的能量转化为系统摩擦产生的热量，即$\Delta E = Q = F_{f}L = \frac{2k^2L^2(m + M)}{mM}$，故C错误；木块加速过程运动的距离为$x_2 = \frac{0 + v_2}{2}t = \frac{mL}{M + m}$，故D正确。故选AD。

例 2（2024·甘肃卷·T14）
如图，质量为 $2\ \mathrm{kg}$ 的小球 $A$（视为质点）在细绳 $O'P$ 和 $OP$ 作用下处于平衡状态，细绳 $O'P=OP=1.6\ \mathrm{m}$，与竖直方向的夹角均为 $60^{\circ}$。质量为 $6\ \mathrm{kg}$ 的木板 $B$ 静止在光滑水平面上，质量为 $2\ \mathrm{kg}$ 的物块 $C$ 静止在 $B$ 的左端。

剪断细绳 $O'P$，小球 $A$ 开始运动。（重力加速度 $g$ 取 $10\ \mathrm{m/s}^2$）
(1) 求 $A$ 运动到最低点时细绳 $OP$ 所受的拉力；
(2) $A$ 在最低点时，细绳 $OP$ 断裂。$A$ 飞出后恰好与 $C$ 左侧碰撞（时间极短），碰后 $A$ 竖直下落，$C$ 水平向右运动。求碰后 $C$ 的速度大小；
(3) $A$、$C$ 碰后，$C$ 相对 $B$ 滑行 $4\ \mathrm{m}$ 后与 $B$ 共速。求 $C$ 和 $B$ 之间的动摩擦因数。

答案：
(1)40 N
(2)4 m/s
(3)0.15
解析：根据题意，设A、C质量为$m = 2 kg$，B的质量为$M = 6 kg$，细绳$OP$长为$l = 1.6 m$，初始时细线与竖直方向夹角$\theta = 60^{\circ}$。
(1)A从开始运动到最低点的过程由机械能守恒定律得
$mgl(1 - \cos\theta) = \frac{1}{2}mv_0^2 - 0$
对A在最低点受力分析，根据牛顿第二定律得
$F - mg = \frac{mv_0^2}{l}$
解得$v_0 = 4 m/s$，$F = 40 N$。
(2)A与C相碰时，水平方向动量守恒，由碰后A竖直下落可知A的速度为，则有
$mv_0 = 0 + mv_C$
解得$v_C = v_0 = 4 m/s$。
(3)A、C碰后，C相对B滑行$4 m$后与B共速，则对CB整体分析，根据动量守恒得
$mv_0 = (M + m)v$
根据能量守恒得
$\mu mgL_{相对} = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{1}{2}(m + M)v^2$
联立解得$\mu = 0.15$。