《2025年金版新学案高三总复习物理》

例5
如图所示，物块$A$、木板$B$的质量均为$m = 10\ kg$，不计$A$的大小，$B$板长$L = 3\ m$。开始时$A$、$B$均静止，现使$A$以某一水平初速度从$B$的最左端开始运动。已知$A$与$B$、$B$与水平面之间的动摩擦因数分别为$\mu_{1} = 0.3$和$\mu_{2} = 0.1$，$g$取$10\ m/s^{2}$。

(1)若物块$A$刚好没有从$B$上滑下来，则$A$的初速度是多少？
(2)若把木板$B$放在光滑水平面上，让$A$仍以(1)问中的初速度从$B$的最左端开始运动，则$A$能否与$B$脱离？最终$A$和$B$的速度各是多少？

答案：
(1)$2\sqrt{6}m/s$
(2)否$\sqrt{6}m/s \quad \sqrt{6}m/s$
解析：
(1)A在B上向右做匀减速运动，有$\mu_1mg = ma_1$
解得加速度大小$a_1 = 3m/s^2$
木板B向右做匀加速运动，有$\mu_1mg - \mu_2 · 2mg = ma_2$
解得加速度大小$a_2 = 1m/s^2$
由题意知，A刚好没有从B上滑下来，则A滑到B最右端时和B速度相同，设为$v$，可得
时间关系$t = \frac{v_0 - v}{a_1} = \frac{v}{a_2}$
位移关系$L = \frac{v_0^2 - v^2}{2a_1} - \frac{v^2}{2a_2}$
解得$v_0 = 2\sqrt{6}m/s$。
(2)木板B放在光滑水平面上，A在B上向右做匀减速运动，加速度大小仍为$a_1 = 3m/s^2$
B向右做匀加速运动，加速度大小$a_2' = \frac{\mu_1mg}{m} = 3m/s^2$
设A、B达到相同速度$v'$时A没有脱离B，
由时间关系得$\frac{v_0 - v'}{a_1} = \frac{v'}{a_2'}$
解得$v' = \frac{v_0}{2} = \sqrt{6}m/s$
A的位移$x_A = \frac{v_0^2 - v'^2}{2a_1} = 3m$
B的位移$x_B = \frac{v'^2}{2a_2'} = 1m$
由$x_A - x_B = 2m ＜ L$可知，A没有与B脱离，最终A和B的速度相等，大小为$\sqrt{6}m/s$。

迁移拓展.
(多选)如图甲所示，上表面粗糙的平板小车静止于光滑水平面上。$t = 0$时，小车以速度$v_{0}$向右运动，将小滑块无初速度地放置于小车的右端，最终小滑块恰好没有滑出小车。如图乙为小滑块与小车运动的$v - t$图像，图中$t_{1}$、$v_{0}$、$v_{1}$均为已知量，重力加速度大小取$g$。由此可求得（ ）


A.小车的长度
B.小滑块的质量
C.小车在匀减速运动过程中的加速度
D.小滑块与小车之间的动摩擦因数

答案： ACD 最终小滑块恰好没有滑出小车，由题图乙可求出小车的长度$L = \frac{v_1 + v_0}{2}t_1 - \frac{v_1}{2}t_1 = \frac{v_0}{2}t_1$，故A正确；根据题图乙可以求出小车做匀减速直线运动的加速度$a' = \frac{v_0 - v_1}{t_1}$以及小滑块做匀加速直线运动的加速度$a = \frac{v_1}{t_1}$，无法求出小滑块的质量，故B错误，C正确；
对小滑块，由牛顿第二定律可知$a = \frac{F_1}{m} = \mu g$，又$a = \frac{v_1}{t_1}$，联立解得小滑块与小车之间的动摩擦因数$\mu = \frac{v_1}{gt_1}$，故D正确。故选ACD。

例6
如图所示，光滑水平面上静止放着长为$L = 1.6\ m$、质量为$M = 3\ kg$的木板，一个质量为$m = 1\ kg$的物块放在木板的最右端，物块与木板之间的动摩擦因数为$\mu = 0.1$，今对木板施加一水平向右的拉力$F$，$g$取$10\ m/s^{2}$。

(1)施力$F$后，要想把木板从物块的下方抽出来，求力$F$的大小应满足的条件；
(2)为把木板从物块的下方抽出来，施加某力后，发现该力作用最短时间$t_{1} = 0.8\ s$时恰好可以抽出，求此力的大小。

答案：
(1)$F ＞ 4N$
(2)$10N$
解析：
(1)力F拉动木板运动过程中：
对物块，由牛顿第二定律有$\mu mg = ma$
对木板，由牛顿第二定律有$F - \mu mg = Ma_1$
要想抽出木板，则只需$a_1 ＞ a$，即$F ＞ \mu(M + m)g$
解得$F ＞ 4N$。
(2)设施加该力时木板的加速度大小为$a_2$，则$a_2 = \frac{F' - \mu mg}{M}$
设不再施加该力时木板的加速度大小为$a_3$，则$a_3 = \frac{\mu mg}{M} = \frac{1}{3}m/s^2$
设从不再施加该力到木板恰好被抽出所用时间为$t_2$，则木板从物块下抽出时有
物块的速度$v = a(t_1 + t_2)$
发生的位移$x = \frac{1}{2}a(t_1 + t_2)^2$
木板的速度$v_板 = a_2t_1 - a_3t_2$
发生的位移$x_板 = \frac{1}{2}a_2t_1^2 + a_2t_1t_2 - \frac{1}{2}a_3t_2^2$
木板刚好从物块下抽出时应有$v_板 = v$且$x_板 - x = L$
联立解得$t_2 = 1.2s$，$a_2 = 3m/s^2$，$F' = 10N$。