《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

8. 如图所示的是一个电路图,总电阻 $R = 10\Omega$,已知 $\frac{1}{R}= \frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$。若 $R_{1}= 2R_{2}$,则 $R_{1}$,$R_{2}$ 的值分别为 (A)

A.$30\Omega$,$15\Omega$
B.$\frac{20}{3}\Omega$,$\frac{10}{3}\Omega$
C.$15\Omega$,$30\Omega$
D.$\frac{10}{3}\Omega$,$\frac{20}{3}\Omega$

答案： A
∵$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2+R_1}{R_1R_2}$,
∴$R=\frac{R_1R_2}{R_2+R_1}$.
∵R=10Ω,R₁=2R₂,
∴$10=\frac{2R_2^2}{R_2+2R_2}$,解得R₂=15Ω.经检验,R₂=15Ω是原分式方程的解.则R₁=30Ω.故选A.

9. $A$,$B$ 两地相距 $48$ km,一艘轮船从 $A$ 地顺流航行至 $B$ 地,又立即从 $B$ 地逆流返回 $A$ 地,共用去 $9$ h,已知水流速度为 $4$ km/h. 若设该轮船在静水中的速度为 $x$ km/h,则可列方程为 (A)
A.$\frac{48}{x + 4}+\frac{48}{x - 4}= 9$
B.$\frac{48}{4 + x}+\frac{48}{4 - x}= 9$
C.$\frac{48}{x}+4= 9$
D.$\frac{96}{x + 4}+\frac{96}{x - 4}= 9$

答案： A 顺水行驶的速度为轮船在静水中的速度+水流速度,逆水行驶时的速度为轮船在静水中的速度-水流速度,路程均为48km,共用去9h,根据题意可得选项A的分式方程.故选A.

10. 已知 $\frac{3x + 4}{x^{2}-x - 2}= \frac{A}{x - 2}-\frac{B}{x + 1}$,其中 $A$,$B$ 为常数,则 $4A - B$ 的值为 (C)

A.$7$
B.$9$
C.$13$
D.$5$

答案： C
∵$\frac{A}{x-2}-\frac{B}{x+1}=\frac{A(x+1)-B(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{(A-B)x+A+2B}{x^2-x-2}=\frac{3x+4}{x^2-x-2}$,
∴$\begin{cases}A-B=3,\\A+2B=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}A=\frac{10}{3},\\B=\frac{1}{3}.\end{cases}$
∴4A-B=4×$\frac{10}{3}$-$\frac{1}{3}$=13.故选C.

11. 分式 $\frac{1}{3m}$,$\frac{1}{2n^{2}}$,$-\frac{1}{4mn}$ 的最简公分母为 12mn².

答案： 12mn² 系数3,2,4的最小公倍数为12,m的最高指数为1,n的最高指数为2,所以最简公分母为12mn².

12. 若分式 $\frac{x - 8}{x}$ 的值为 0,则 $x$ 的值等于 8.

答案： 8
∵$\frac{x-8}{x}=0$,
∴x-8=0.
∴x=8.

13. 已知分式 $\frac{x - b}{2x + a}$ 中,$x$ 的取值范围是 $x\neq - 2$,则 $a = $ 4.

答案： 4
∵x≠-2,
∴当x=-2时,2x+a=0,即2×(-2)+a=0,解得a=4.

14. 当 $a$,$b$ 满足关系 a≠b时,$\frac{2(a - b)}{4(a - b)}= \frac{1}{2}$。

答案： a≠b 根据分式的基本性质,分式的分子、分母乘同一个不等于0的整式,分式的值不变,所以a-b≠0,即a≠b.

15. 已知 $x^{2}-4x + 4$ 与 $|y-\frac{1}{2}|$ 互为相反数,则式子 $(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})÷(x + y)$ 的值为 $\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$
∵$x^2-4x+4=(x-2)^2≥0$,$|y-\frac{1}{2}|≥0$,且二者互为相反数,
∴$(x-2)^2+|y-\frac{1}{2}|=0$.
∴x=2,$y=\frac{1}{2}$.
∴$(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})÷(x+y)=\frac{x^2-y^2}{xy}·\frac{1}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}·\frac{1}{x+y}=\frac{x-y}{xy}$.当x=2,$y=\frac{1}{2}$时,原式=$\frac{2-\frac{1}{2}}{2×\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$.

16. (6 分)已知 $m + n - 3 = 0$,求代数式 $\frac{3(m - n)+6n}{m^{2}+n^{2}+2mn}$ 的值。

答案： 解:
∵m+n-3=0,
∴m+n=3.$\frac{3(m-n)+6n}{m^2+n^2+2mn}=\frac{3m-3n+6n}{(m+n)^2}=\frac{3m+3n}{(m+n)^2}=\frac{3(m+n)}{(m+n)^2}=\frac{3}{m+n}=1$.