《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

15. 如图,在等腰三角形 $ ABC $ 中,$ AB = AC = 12\ cm $,$ BC = 8\ cm $,点 $ D $ 为 $ AB $ 的中点,点 $ P $ 在线段 $ BC $ 上以 $ 2\ cm/s $ 的速度由点 $ B $ 向点 $ C $ 运动,点 $ Q $ 在线段 $ AC $ 上以 $ x\ cm/s $ 的速度由点 $ C $ 向点 $ A $ 运动。两点同时出发,如果在某一时刻 $ \triangle BDP $ 和 $ \triangle CPQ $ 全等,那么 $ x = $ 2或3。

答案： 2或3
∵AB=12cm，点D为AB的中点，
∴BD=1/2×12 = 6cm。　设点P、Q的运动时间为t s，则BP=2t cm，
∴PC=(8 - 2t)cm。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；　①当△BDP≌△CPQ时，BD=PC，
∴6=8 - 2t，解得t=1，则BP=CQ=2cm。　故点Q的运动速度为2÷1 = 2cm/s。　②当△BDP≌△CQP时，BP=PC；
∵BC=8cm，
∴BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm。
∴t=4÷2 = 2s。故点Q的运动速度为6÷2 = 3cm/s。　　即x=2或3。

16. (6 分)如图,已知在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,过点 $ B $ 作 $ BA $ 的垂线,与 $ AD $ 的延长线相交于点 $ E $。求证：$ \triangle BDE $ 是等腰三角形。

答案： 证明：
∵∠C=90°，
∴∠ADC+∠DAC=90°。
∵∠BDE=∠ADC，
∴∠BDE+∠DAC=90°。
∵EB⊥AB，
∴∠E+∠BAE=90°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAC。
∴∠E=∠BDE。
∴BE=BD。
∴△BDE是等腰三角形。

17. (6 分)如图,某渔船上的渔民在 $ A $ 处观测到灯塔 $ M $ 在北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向,这艘渔船以 $ 28 $ 海里/时的速度沿正东方向航行,半小时后到达 $ B $ 处,在 $ B $ 处观测到灯塔 $ M $ 在北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向。问 $ B $ 处到灯塔 $ M $ 的距离是多少海里？

答案：
解：如图，由题意可知，∠MAB=30°，∠MBC=60°。
∵∠MBC=∠MAB+∠AMB，∠MAB=30°，∠MBC=60°，
∴∠AMB=30°。
∴∠AMB=∠MAB。
∴AB=BM。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵AB=28×1/2 = 14(海里)，
∴BM=AB=14(海里)。　　答：B处到灯塔M的距离是14海里。

18. (6 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB ＞ AC $,$ \angle BAC $ 的平分线与 $ BC $ 的垂直平分线 $ DM $ 相交于点 $ D $,过点 $ D $ 作 $ DE \perp AB $ 于点 $ E $,作 $ DF \perp AC $ 交 $ AC $ 的延长线于点 $ F $。求证：$ \triangle DEB \cong \triangle DFC $。

答案： 证明：
∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
∵MD是BC的垂直平分线，
∴DB=DC。　　在Rt△DEB和Rt△DFC中，{DB=DC，DE=DF}，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)。