《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

19. (8 分)【实践探究】
(1)如图 1,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 50^{\circ}$,$\angle ABC$ 的平分线与外角 $\angle ACD$ 的平分线相交于点 $E$,则 $\angle E = $ 25°；
【拓展延伸】
(3)195°如图 3,已知四边形 $ABCD$,$CE$ 为 $\angle BCD$ 的平分线,$BF$ 是外角 $\angle ABG$ 的平分线,连接 $EF$。已知 $\angle A = 130^{\circ}$,$\angle D = 80^{\circ}$。请直接写出 $\angle E + \angle F$ 的度数。

答案：
(1)由条件可知∠EBD=1/2∠ABC，∠ECD=1/2∠ACD。
∵∠A=50°，
∴∠ACD−∠ABC=∠A=50°。
∴∠E=∠ECD−∠EBD
=1/2∠ACD−1/2∠ABC
=1/2×50°
=25°。
故答案为：25°。
(2)由条件可知∠EBD=1/2∠ABC，∠FBD=1/2∠CBP。
∴∠EBF=∠EBD+∠FBD=1/2∠ABC+1/2∠CBP=1/2(∠ABC+∠CBP)=90°。
由
(1)可得∠E=25°，
∴∠F=180°−∠EBF−∠E=65°。
(3)由条件可知∠BCD+∠ABC=360°−130°−80°=150°。
∵CE为∠BCD的平分线，BF是外角∠ABG的平分线，
∴∠BCE=1/2∠BCD，∠ABF=1/2∠ABG。
∴∠E+∠F=360°−∠BCE−∠ABF−∠ABC
=360°−1/2∠BCD−1/2∠ABG−∠ABC
=360°−1/2(∠BCD+∠ABC)−1/2(∠ABG+∠ABC)
=360°−1/2×150°−1/2×180°
=195°。

20. (8 分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$BE \perp AC$ 于点 $E$,且 $D$,$E$ 分别是 $AB$,$AC$ 的中点,延长 $BC$ 至点 $F$,使 $CF = CE$。
(1)求 $\angle ABC$ 的度数；
(2)求证：$BE = FE$。

答案：
(1)
∵BE⊥AC于点E，E是AC的中点，
∴AB=BC。
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形。
∴∠ABC=60°。
(2)证明：
∵CF=CE，
∴∠F=∠CEF。
∵∠ACB=∠F+∠CEF=60°，
∴∠F=30°。
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴∠EBC=1/2∠ABC=1/2×60°=30°。
∴∠F=∠EBC。
∴BE=FE。