《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

22. (10分)若 $\triangle ABC$ 的三边长分别是 $a$,$b$,$c$.
(1)当 $b^{2}+2ab = c^{2}+2ac$ 时,试判断 $\triangle ABC$ 的形状；
(2)判断代数式 $a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac$ 值的符号.

答案： 解：
(1)将$b^{2}+2ab=c^{2}+2ac$变形为$b^{2}-c^{2}+2ab-2ac=0$，
∴$(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0$，即$(b-c)(b+c+2a)=0$。
　根据题意，得$b+c+2a＞0$，
∴$b-c=0$。
∴$b=c$。
∴$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2)$a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac=(a^{2}-2ac+c^{2})-b^{2}=(a-c)^{2}-b^{2}=(a+b-c)(a-b-c)$。
　根据三角形的三边关系可知，$a+b＞c$，$a-b＜c$，即$a+b-c＞0$，$a-b-c＜0$，
∴$a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac＜0$。
∴代数式$a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac$值的符号为负号。

23. (11分)若我们规定三角表示为：abc；方框表示为：$(x^{m}+y^{n}). 例如 \begin{array}{c}1\\19\quad 3\end{array} ÷\begin{array}{cc}4&1\\2&3\end{array} = 1×19×3÷(2^{4}+3^{1}) = 3. $请根据这个规定解答下列问题：


(1)计算：$-\frac{3}{2}$
(2)代数式为完全平方式,则 k= ______$\pm 3$；

(3)解方程：解：由题意得$(3x-2)(3x+2)-[(x+2)(3x-2)+3^{2}]=6x^{2}+7$，展开可得$9x^2 - 4 - (3x^2 - 2x + 6x - 4 + 9) = 6x^2 + 7$，化简得$9x^2 - 4 - 3x^2 - 4x - 5 = 6x^2 + 7$，进一步计算得$6x^2 - 4x - 9 = 6x^2 + 7$，移项合并同类项得$-4x = 16$，解得$x = -4$。

答案： 解：
(1)
　　　　　　$=[2× (-3)× 1]÷ [(-1)^{4}+3^{1}]$
　　　　　　$=-6÷ 4$
　　　　　　$=-\frac{3}{2}$。
　　　　　　故答案为：$-\frac{3}{2}$；
(2)
　　　　　　$=[x^{2}+(3y)^{2}]+xk\cdot 2y$
　　　　　　$=x^{2}+9y^{2}+2kxy$，
∵代数式为完全平方式，
∴$2k=\pm 6$，解得$k=\pm 3$；
　　　　　　故答案为：$\pm 3$；
(3)由
　　　　　　得$(3x-2)(3x+2)-[(x+2)(3x-2)+3^{2}]=6x^{2}+7$，
∴$-4x=16$，
　　　　　　解得$x=-4$。