《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

24. (12 分)在 $\triangle ABC$ 中,$AC = BC$,在 $\triangle DEC$ 中,$DC = EC$,$\angle ACB = \angle DCE = \alpha$,点 $A$,$D$,$E$ 在同一条直线上,$AE$ 与 $BC$ 相交于点 $F$,连接 $BE$。
(1)如图 1,当 $\alpha = 60^{\circ}$ 时,
① 请直接写出 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEC$ 的形状；
② 求证：$AD = BE$；
③ 求 $\angle AEB$ 的度数。
(2)如图 2,当 $\alpha = 90^{\circ}$ 时,
① 求 $\angle AEB$ 的度数；
② 若 $\angle CAF = \angle BAF$,$BE = 2$,求线段 $AF$ 的长。

答案：
(1)①
∵AC=BC，DC=EC，
∴△ABC和△DEC都为等腰三角形。
∵∠ACB=∠DCE=α=60°，
∴△ABC和△DEC都为等边三角形。
②证明：
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠BCE+∠DCB，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，{AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE}，
∴△ACD≌△BCE(SAS)。
∴AD=BE。
③
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC。
∵∠ADC=180°−∠CDE=180°−60°=120°，
∴∠BEC=∠CEF+∠AEB=120°。
∵∠CEF=60°，
∴∠AEB=120°−60°=60°。
(2)①
∵∠ACB=∠DCE=α=90°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，{AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE}，
∴△ACD≌△BCE(SAS)。
∴∠ADC=∠BEC。
由条件易得△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°。
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC=∠BEC=135°。
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135°−45°=90°。
②如题图，延长BE交AC的延长线于点G。
由①得，∠CAD=∠CBE，∠AEB=90°。
在△ACF和△BCG中，{∠CAF=∠CBG，AC=BC，∠ACF=∠BCG=90°}，
∴△ACF≌△BCG(ASA)。
∴AF=BG。
在△AEB和△AEG中，{∠BAE=∠GAE，AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°}，
∴△AEB≌△AEG(ASA)。
∴BE=GE=2。
∴BG=GE+BE=4。
∴AF=4。