《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

24. (12分)如图,点$O是等边\triangle ABC$内一点,$D是\triangle ABC$外的一点,$\angle AOB = 110^{\circ}$,$\angle BOC= \alpha$,$\triangle BOC\cong\triangle ADC$,$\angle OCD = 60^{\circ}$,连接$OD$.
(1)求证：$\triangle OCD$是等边三角形；
(2)当$\alpha = 150^{\circ}$时,试判断$\triangle AOD$的形状,并说明理由；
(3)探究：当$\alpha$为多少度时,$\triangle AOD$是等腰三角形.

答案： 解:
(1)证明:
∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC.又
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形.
(2)△AOD是直角三角形.理由如下:
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，
∴△AOD是直角三角形.
(3)
∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α，∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°，
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°.①当∠AOD=∠ADO时，190°−α=α−60°，
∴α=125°.②当∠AOD=∠OAD时，190°−α=50°，
∴α=140°.③当∠ADO=∠OAD时，α−60°=50°，
∴α=110°.综上所述:当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.