《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

21. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB = BC$,$DE\perp AB于点E$,$DF\perp BC于点D$,交$AC于点F$.
(1)若$\angle AFD = 155^{\circ}$,求$\angle EDF$的度数；
(2)若点$F是AC$的中点,求证：$\angle CFD= \frac{1}{2}\angle B$.

答案： 解:
(1)
∵∠AFD=155°，
∴∠DFC=180°−∠AFD=25°.
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°.
∴∠C=90°−∠DFC=65°.
∵AB=BC，
∴∠A=∠C=65°.
∴∠EDF=360°−∠A−∠AFD−∠AED=360°−65°−155°−90°=50°.
(2)证明:如图，连接BF.
∵AB=BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∴∠CFD+∠BFD=∠BFC=90°，∠CBF+∠BFD=90°.
∴∠CFD=∠CBF.
∴∠CFD=$\frac{1}{2}$∠ABC，即∠CFD=$\frac{1}{2}$∠B.

22. (10分)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$CE\perp AB$,$\triangle BDC$为等腰直角三角形,$\angle BDC = 90^{\circ}$,$BD = CD$,$CE与BD相交于点F$,连接$AF$,点$M为BC$的中点,连接$DM交CE于点N$.
(1)求证：$\triangle ABD\cong\triangle NCD$；
(2)求证：$CF = AB + AF$.

答案： 证明:
(1)
∵CE⊥AB，
∴∠BEF=∠CDF=90°.
∴∠ABD+∠EFB=90°，∠NCD+∠DFC=90°.又
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠ABD=∠NCD.
∵DB=DC，∠BDC=90°，BM=CM，
∴∠MDB=∠MDC=∠DBC=45°.
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°.
∴∠ADB=∠MDC=∠NDC.在△ABD和△NCD中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠NDC,\\ BD=CD,\\ ∠ABD=∠NCD,\end{array}\right.$
∴△ABD≌△NCD(ASA).
(2)
∵△ABD≌△NCD，
∴AD=ND，AB=NC.
∵∠MDB=∠MDC=∠DBC，∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠MDB.在△FDA和△FDN中，$\left\{\begin{array}{l} DF=DF,\\ ∠ADF=∠NDF,\\ AD=ND,\end{array}\right.$
∴△FDA≌△FDN(SAS).
∴AF=NF.
∴CF=NC+NF=AB+AF.

23. (11分)在数学探究活动中,小明找到一张两边平行的纸条,他先在边$KL上取一点A$,再在$MN边上任取一点P$,从点$A$处将纸条左侧折叠,使$AK折叠后的对应线段AK'经过点P$,此时的折痕记为$AB$(点$B在MN$上),如图1所示；再从点$A$处将纸条右侧折叠,使$AL折叠后的对应线段AL'也经过点P$,此时的折痕记为$AC$(点$C在MN$上),如图2所示.
(1)在图1中,若$\angle APN= \alpha$,求$\angle ABM$的大小(用$\alpha$表示)；
(2)小明发现,在图2中,有$BM'// AK'$,$CN'// AL'$,进而推理：
$\because线段AK'和线段AL'都经过点A和点P$,
$\therefore它们都在同一条直线AP$上. (①______此处填推理的依据).
$\because BM'// AK'$,$CN'// AL'$,
$\therefore BM'// CN'$. (②______此处填推理的依据)
(3)小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作,如图3所示,他意外地发现：虽然纸条的两边$KL和MN$不平行,但折叠后,在图3中仍有$BM'// CN'$. 请你帮小亮证明这个结论.

答案：
解:
(1)因为KL//MN，所以∠KAP=∠APN=α，由折叠的性质可知∠KAB=$\frac{1}{2}$∠KAP=$\frac{α}{2}$，所以∠ABM=180°−∠KAB=180°−$\frac{α}{2}$.
(2)
∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P，
∴它们都在同一条直线AP上.(两点确定一条直线)；
∵BM'//AK'，CN'//AL'，
∴BM'//CN'.(平行于同一条直线的两条直线互相平行).故答案为:①两点确定一条直线；②平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(3)证明:由∠KAB=∠BAP和∠LAC=∠CAP得∠BAC=90°， 连接BC，则在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°.
∴∠ACN+∠ABM=270°.由题意，∠ACN=∠ACN'，∠ABM=∠ABM'，
∴∠ACN'+∠ABM'=270°，
∴∠BCN'+∠CBM'=270°−90°=180°，
∴BM'//CN'.