《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

24. (12分)我们知道：多项式 $a^{2}+6a + 9$ 可以写成 $(a + 3)^{2}$ 的形式,这就是将多项式 $a^{2}+6a + 9$ 因式分解. 当一个多项式(如 $a^{2}+6a + 8$)不能写成两数和(或差)的平方的形式时,我们通常采用下面的方法：
$a^{2}+6a + 8= (a + 3)^{2}-1= (a + 2)(a + 4)$.
请仿照上面的方法,将下列各式因式分解：
(1)$x^{2}-6x - 27$；
(2)$a^{2}+3a - 28$；
(3)$x^{2}-(2n + 1)x + n^{2}+n$.

答案： 解：
(1)$x^{2}-6x-27$
　　　　　　$=x^{2}-6x+9-36$，
　　　　　　$=(x-3)^{2}-6^{2}$，
　　　　　　$=(x-3+6)(x-3-6)$，
　　　　　　$=(x+3)(x-9)$；
(2)$a^{2}+3a-28$
　　　　　　$=a^{2}+3a+(\frac{3}{2})^{2}-(\frac{3}{2})^{2}-28$，
　　　　　　$=(a+\frac{3}{2})^{2}-\frac{121}{4}$，
　　　　　　$=(a+\frac{3}{2}-\frac{11}{2})(a+\frac{3}{2}+\frac{11}{2})$，
　　　　　　$=(a-4)(a+7)$；
(3)$x^{2}-(2n+1)x+n^{2}+n$
　　　　　　$=x^{2}-(2n+1)x+(n+\frac{1}{2})^{2}-(n+\frac{1}{2})^{2}+n^{2}+n$，
　　　　　　$=(x-n-\frac{1}{2})^{2}-(\frac{1}{2})^{2}$，
　　　　　　$=(x-n-\frac{1}{2}-\frac{1}{2})(x-n-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})$，
　　　　　　$=(x-n-1)(x-n)$。