《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

23. (11 分)有些代数问题,我们可以采用构造几何图形的方法研究,借助直观、形象的几何模型,加深认识和理解,从中感悟“数形结合”的思想方法,感悟代数和几何内在的一致性。如图 1 是由两个边长分别为 $m$,$n$ 的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形,则根据大正方形的面积可以验证公式：$(m + n)^{2} = m^{2} + 2mn + n^{2}$。
(1)如图 2 是由四个全等的直角三角形(边长分别为 $a$,$b$,$c$,且 $a ＜ b ＜ c$)和一个小正方形拼成的大正方形,利用图 1 验证公式的方法求出 $a$,$b$,$c$ 满足的等量关系式；
(2)如图 2,在(1)的条件下,若 $a + b = 7$,$c = 5$,求阴影部分的面积；
(3)如图 3,以(1)中的 $a$,$b$,$c$ 为边长作三个正方形,并将以 $a$,$b$ 为边长的两个小正方形放置于以 $c$ 为边长的大正方形内,若阴影部分的面积为 1,求四边形 $ABCD$ 的面积。

答案：
(1)解：a²+b²=c²，
∵图2从整体看，大正方形的边长为c，面积表示为c²；从构成看，大正方形由四个直角三角形和一个小正方形组成，
∴面积可表示为1/2ab×4+(b-a)²，
∴1/2ab×4+(b-a)²=c²，
∴a²+b²=c²；
(2)解：
∵c=5，
∴c²=25，
∴a²+b²=25，
∵a+b=7，
∴(a+b)²=49，
∴a²+b²+2ab=49，
∵a²+b²=25，
∴25+2ab=49，
∴2ab=24，
∵阴影部分的面积=(b-a)²=a²+b²-2ab，
∴阴影部分的面积=25-24=1；
(3)解：
∵图3中两个长方形的边长均为c-a和c-b，
∴两个长方形的面积相等，
∵a²+b²+2×四边形ABCD的面积-c²=S阴影，
∵a²+b²=c²，阴影部分的面积为1，
∴2×四边形ABCD的面积=1，
∴四边形ABCD的面积=0.5.