《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

24. (12 分)如图 1,在等边三角形 $ ABC $ 中,点 $ D $ 是 $ AB $ 边上的动点,以 $ CD $ 为一边,向上作等边三角形 $ EDC $,连接 $ AE $。
(1)$ \triangle DBC $ 和 $ \triangle EAC $ 全等吗？请说说你的理由；
(2)试说明 $ AE // BC $ 的理由；
(3)如图 2,将图 1 中的动点 $ D $ 运动到 $ BA $ 的延长线上,所作 $ \triangle EDC $ 仍是等边三角形,请问是否仍有 $ AE // BC $？证明你的猜想。

答案： 解：
(1)△DBC≌△EAC。　理由：
∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，BC=AC，DC=EC。
∴∠ACB - ∠ACD=∠DCE - ∠ACD，即∠BCD=∠ACE。　在△DBC和△EAC中，{BC=AC，∠BCD=∠ACE，DC=EC}，
∴△DBC≌△EAC(SAS)。　
(2)
∵△DBC≌△EAC，
∴∠B=∠EAC=60°。　又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB。
∴AE//BC。　
(3)仍有AE//BC。　证明：
∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，BC=AC，DC=EC。
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE；　在△DBC和△EAC中，{BC=AC，∠BCD=∠ACE，DC=EC}，
∴△DBC≌△EAC(SAS)。
∴∠B=∠EAC=60°。
∴∠EAC=∠ACB。
∴AE//BC。