《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

18. (6分)已知二次三项式 $2x^{2}+x + a$ 有一个因式是 $x + 2$,求另一个因式以及 $a$ 的值.
解：设另一个因式是 $2x + b$. 根据题意,得
$2x^{2}+x + a= (x + 2)(2x + b)$.
展开,得 $2x^{2}+x + a= 2x^{2}+(b + 4)x + 2b$.
所以 $\begin{cases}b + 4 = 1\\a = 2b\end{cases} $,解得 $\begin{cases}a = -6\\b = -3\end{cases} $.
所以另一个因式是 $2x - 3$,$a$ 的值是 -6.
请你仿照以上做法解答下列问题：已知二次三项式 $3x^{2}+10x + m$ 有一个因式是 $x + 4$,求另一个因式以及 $m$ 的值.

答案： 解：设另一个因式是$3x+b$。根据题意，得$3x^{2}+10x+m=(x+4)(3x+b)$。展开，得$3x^{2}+10x+m=3x^{2}+(b+12)x+4b$。
∴$b+12=10$，解得$b=-2$。
∴另一个因式是$3x-2$。
∵$m=4b$，
∴$m=-8$。

19. (8分)利用因式分解计算.
(1)$2018^{2}-4036×2017 + 2017^{2}$；
(2)$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×…×(1-\frac{1}{2024^{2}})×(1-\frac{1}{2025^{2}})$；
(3)$\frac{2025^{3}-2×2025^{2}-2023}{2025^{3}-2025^{2}-2024}$.

答案： 解：
(1)$2018^{2}-4036× 2017+2017^{2}=(2018-2017)^{2}=1$。
(2)$(1-\frac{1}{2^{2}})× (1-\frac{1}{3^{2}})× (1-\frac{1}{4^{2}})× \cdots × (1-\frac{1}{2024^{2}})× (1-\frac{1}{2025^{2}})$
　$=(1-\frac{1}{2})× (1+\frac{1}{2})× (1-\frac{1}{3})× (1+\frac{1}{3})× (1-\frac{1}{4})× (1+\frac{1}{4})× \cdots × (1-\frac{1}{2025})× (1+\frac{1}{2025})$
　$=\frac{1}{2}× \frac{3}{2}× \frac{2}{3}× \frac{4}{3}× \frac{3}{4}× \frac{5}{4}× \cdots × \frac{2024}{2025}× \frac{2026}{2025}$
　$=\frac{1}{2}× \frac{2026}{2025}$
　$=\frac{1013}{2025}$。
(3)$\frac{2025^{3}-2× 2025^{2}-2023}{2025^{3}-2025^{2}-2024}=\frac{2025^{2}× (2025-2)-2023}{2025^{2}× (2025-1)-2024}=\frac{2025^{2}× 2023-2023}{2025^{2}× 2024-2024}=\frac{2023× (2025^{2}-1)}{2024× (2025^{2}-1)}=\frac{2023}{2024}$。