《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

21. (8 分)如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ E $ 是 $ BC $ 延长线上的一点,连接 $ AE $ 交 $ CD $ 于点 $ F $。已知 $ \angle B = \angle D $,$ \angle 1 + \angle 2 = 180^{\circ} $。
(1)若 $ \angle E = 25^{\circ} $,$ \angle D = 60^{\circ} $,求 $ \angle 2 $ 的度数；
(2)判断 $ AD $ 与 $ BC $ 的位置关系,并说明理由。

答案： 解:
(1)
∵∠1 = ∠AFC,∠1 + ∠2 = 180°,
∴∠AFC + ∠2 = 180°.
∴AB//CD.
∵∠DCE = ∠B.
∵∠B = ∠D,
∴∠D = ∠DCE = 60°.
∵∠1 = ∠DCE + ∠E,∠E = 25°,
∴∠1 = 60° + 25° = 85°.
∵∠1 + ∠2 = 180°,
∴∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 85° = 95°.
(2)AD//BC,理由如下:由
(1)可知∠D = ∠DCE.
∴AD//BC.

22. (10 分)如图,已知点 $ P $ 是 $ \triangle ABC $ 内一点。
(1)求证：$ PA + PB + PC ＞ \frac{1}{2}(AB + BC + AC) $；
(2)求证：$ AB + BC + AC ＞ PA + PB + PC $。

答案： 证明:
(1)在△PAB中,PA + PB＞AB,同理可得,PA + PC＞AC,PB + PC＞BC,
∴2PA + 2PB + 2PC＞AB + AC + BC.
∴PA + PB + PC＞$\frac{1}{2}$(AB + AC + BC).
(2)如图,延长AP,交BC于点D.在△ADC中,AC + CD＞AD,
∴AC + CD + BD＞AD + BD.
∴AC + BC＞AD + BD.又
∵AP + PD = AD,
∴AC + BC＞AP + PD + BD.又
∵在△BDP中,BD + PD＞BP,
∴AC + BC＞AP + BP.同理可得,AB + AC＞PB + PC,AB + BC＞PA + PC,
∴2AB + 2BC + 2AC＞2PA + 2PB + 2PC.
∴AB + AC + BC＞PA + PB + PC.