《2025年核心素养学练评八年级数学上册人教版》

22. (10 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ AD $ 为 $ \triangle ABC $ 的角平分线。以点 $ A $ 为圆心,$ AD $ 的长为半径画弧,与 $ AB $,$ AC $ 分别交于点 $ E $,$ F $,连接 $ DE $,$ DF $。
(1)求证：$ \triangle ADE \cong \triangle ADF $；
(2)若 $ \angle BAC = 80^{\circ} $,求 $ \angle BDE $ 的度数。

答案： 解：
(1)证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD。　　由作图可知，AE=AF。　在△ADE和△ADF中，{AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD}，
∴△ADE≌△ADF(SAS)。　　
(2)
∵∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD=1/2∠BAC=40°。　　由作图知，AE=AD。
∴∠AED=∠ADE。
∴∠ADE=1/2×(180° - 40°)=70°。
∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC。
∴∠BDE=∠ADB - ∠ADE=20°。

23. (11 分)在正方形 $ ABCD $ 外侧作直线 $ AP $,点 $ B $ 关于直线 $ AP $ 的对称点为点 $ E $,连接 $ BE $,$ DE $,其中 $ DE $ 交直线 $ AP $ 于点 $ F $。


(1)依题意补全图 1；
(2)若 $ \angle PAB = 20^{\circ} $,求 $ \angle ADF $ 的度数。
(3)若 $ 45^{\circ} ＜ \angle PAB ＜ 90^{\circ} $,请在图 2 中画出图形,求 $ \angle AFE $ 的度数。

答案：
解：
(1)如图1。　　
(2)如图1，连接AE。　　由对称可得AB=AE，∠PAE=∠PAB=20°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠EAD=∠BAD+∠PAE+∠PAB=130°。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AE=AD。
∴∠AEF=∠ADF。
∴∠ADF=1/2(180° - ∠EAD)=25°。　　
(3)如图2，连接AE、BF，BF交AD于点H。　　由对称可得AB=AE，FE=FB。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴AE=AD。
∴∠AED=∠ADE；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　又由对称可得∠AEF=∠ABF，
∴∠ABF=∠ADE。
∵∠AHB=∠FHD，
∴∠BFD=∠BAD=90°。
∴∠BFE=90°。
∴∠AFE=∠AFB=45°。