《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

1. (2023·江苏泰州中考)关于x的一元二次方程$x^{2}+2x - 1 = 0$的两根之和为-2。

答案： -2

2. 若一元二次方程$x^{2}-4x + 3 = 0的两个根是x_{1}$,$x_{2}$,则$x_{1}\cdot x_{2}$的值是3。

答案： 3

3. (教材改编题)求下列方程的两个根的和与积。
(1)$x^{2}-5x - 10 = 0$；
(2)$2x^{2}+7x + 1 = 0$；
(3)$3x^{2}-1 = 2x + 5$；
(4)$x(x - 1) = 3x + 7$。

答案： 解：
(1)
∵a=1,b=-5,c=-10,
∴x₁+x₂=-b/a=-(-5)/1=5,x₁·x₂=c/a=-10/1=-10.
(2)
∵a=2,b=7,c=1,
∴x₁+x₂=-b/a=-7/2,x₁·x₂=c/a=1/2.
(3)原方程化为3x²-2x-6=0,
∴a=3,b=-2,c=-6,
∴x₁+x₂=-b/a=-(-2)/3=2/3,x₁·x₂=c/a=-6/3=-2.
(4)原方程化为x²-4x-7=0,
∴a=1,b=-4,c=-7,
∴x₁+x₂=-b/a=-(-4)/1=4,x₁·x₂=c/a=-7/1=-7.

4. 一元二次方程$2x^{2}-bx + c = 0的两根为x_{1}$,$x_{2}$,若$x_{1}+x_{2}= 5$,$x_{1}\cdot x_{2}= -2$,则$b = $10,$c = $-4。

答案： 10 -4

5. (一题多解)[2023·湖南衡阳中考]已知关于x的方程$x^{2}+mx - 20 = 0的一个根是-4$,则它的另一个根是5。

答案： 5[提示:方法1:设方程的另一个根为t,根据根与系数的关系得-4t=-20,解得t=5,即方程的另一个根为5. 方法2:把x=-4代入方程x²+mx-20=0,得16-4m-20=0,解得m=-1. 把m=-1代入方程x²+mx-20=0,得x²-x-20=0,即(x-5)(x+4)=0,解得x₁=5,x₂=-4. 故方程的另一个根为5.]

6. (2023·四川遂宁中考)若a,b是一元二次方程$x^{2}-3x + 1 = 0$的两个实数根,则代数式$a + b - ab$的值为2。

答案： 2

7. (2023·湖北宜昌中考)已知$x_{1}$,$x_{2}是方程2x^{2}-3x + 1 = 0$的两根,则代数式$\frac{x_{1}+x_{2}}{1 + x_{1}x_{2}}$的值为1。

答案： 1

8. (2023·四川攀枝花中考)$x^{2}-4x - 2 = 0$的两根分别为m,n,则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}= $-2。

答案： -2

9. (2023·四川眉山中考)已知方程$x^{2}-3x - 4 = 0的根为x_{1}$,$x_{2}$,则$(x_{1}+2)\cdot(x_{2}+2)$的值为6。

答案： 6

10. (2023·湖北孝感中考)已知一元二次方程$x^{2}-3x + k = 0的两个实数根为x_{1}$,$x_{2}$,若$x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}= 1$,则实数$k = $-5。

答案： -5[提示:
∵一元二次方程x²-3x+k=0的两个实数根为x₁,x₂,
∴x₁+x₂=3,x₁·x₂=k.
∵x₁x₂+2x₁+2x₂=1,
∴k+2×3=1,解得k=-5.]

11. 已知$x_{1}$,$x_{2}是方程2x^{2}-5x + 1 = 0$的两个实数根,求下列各式的值。
(1)$x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}$；
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}$。

答案： 解:x₁+x₂=5/2,x₁x₂=1/2.
(1)原式=x₁x₂(x₁+x₂)=1/2×5/2=5/4.
(2)原式=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=(5/2)²-4×1/2=17/4.

12. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}+1 = 0有两个不等实数根x_{1}$,$x_{2}$。
(1)求k的取值范围；
(2)若$x_{1}x_{2}= 5$,求k的值。

答案： 解:
(1)Δ=(2k+1)²-4(k²+1)=4k²+4k+1-4k²-4=4k-3.
∵方程有两个不等实数根,
∴Δ＞0,即4k-3＞0,解得k＞3/4.
(2)根据题意得x₁x₂=k²+1,
∵x₁x₂=5,
∴k²+1=5,解得k₁=-2,k₂=2.
∵k＞3/4,
∴k=2.