《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

13. (2023·四川乐山中考)若关于x的一元二次方程$x^{2}-8x + m = 0两根为x_{1}$,$x_{2}$,且$x_{1}= 3x_{2}$,则m的值为(C)
A.4
B.8
C.12
D.16

答案： C[提示:
∵一元二次方程x²-8x+m=0的两根为x₁,x₂,
∴x₁+x₂=8.
∵x₁=3x₂,解得x₁=6,x₂=2,
∴m=x₁x₂=6×2=12.]

14. 在解一元二次方程$x^{2}+px + q = 0$时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是$-3$,1。小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,$-4$,则原来的方程是(B)
A.$x^{2}+2x - 3 = 0$
B.$x^{2}+2x - 20 = 0$
C.$x^{2}-2x - 20 = 0$
D.$x^{2}-2x - 3 = 0$

答案： B[提示:设此方程的两个根是α,β,根据题意得α+β=-p=-2,αβ=q=-20,则以α,β为根的一元二次方程是x²+2x-20=0.]

15. (2023·四川内江中考)已知a,b是方程$x^{2}+3x - 4 = 0$的两根,则$a^{2}+4a + b - 3 = $-2。

答案： -2[提示:
∵a是方程x²+3x-4=0的根,
∴a²+3a-4=0,
∴a²=-3a+4.
∵a,b是方程x²+3x-4=0的两根,
∴a+b=-3,
∴a²+4a+b-3=-3a+4+4a+b-3=a+b+1=-3+1=-2.]

16. (2023·湖北仙桃中考)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2m + 1)x + m^{2}+m = 0$。
(1)求证：无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a,b,若$(2a + b)\cdot(a + 2b)= 20$,求m的值。

答案：
(1)证明:
∵Δ=[-(2m+1)]²-4(m²+m)=4m²+4m+1-4m²-4m=1＞0,
∴无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根.
(2)解:
∵该方程的两个实数根为a,b,
∴a+b=-[-(2m+1)]/1=2m+1,ab=(m²+m)/1=m²+m.
∵(2a+b)(a+2b)=2a²+4ab+ab+2b²=2(a²+2ab+b²)+ab=2(a+b)²+ab,
∴2(a+b)²+ab=20,
∴2(2m+1)²+m²+m=20,整理得m²+m-2=0,解得m₁=-2,m₂=1.

17. (易错题)关于x的一元二次方程$x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+5 = 0$有两个实数根。
(1)求m的取值范围；
(2)若Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长恰好是此方程的两个实数根,斜边AB = 6,求△ABC的周长。

答案： 解:
(1)
∵关于x的一元二次方程x²-2(m+1)x+m²+5=0有两个实数根,
∴Δ=4(m+1)²-4(m²+5)=8m-16≥0,解得m≥2.
(2)设x₁,x₂是关于x的一元二次方程x²-2(m+1)x+m²+5=0的两实数根,
∴x₁+x₂=2(m+1),x₁x₂=m²+5.
∵(x₁+x₂)²=x₁²+x₂²+2x₁x₂,
∴x₁²+x₂²=4(m+1)²-2(m²+5)=2m²+8m-6.根据勾股定理,得x₁²+x₂²=6²,
∴2m²+8m-6=36,解得m=3或m=-7(舍去),
∴x₁+x₂=2(m+1)=8,
∴AC+BC=8,
∴△ABC的周长为8+6=14.

18. (素养题)(1)已知一元二次方程$2x^{2}-3x - 1 = 0$的两根分别为m,n,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值。
(2)已知实数s,t满足$2s^{2}-3s - 1 = 0$,$2t^{2}-3t - 1 = 0$,且$s\neq t$,求$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值。

答案： 解:
(1)
∵一元二次方程2x²-3x-1=0的两根分别为m,n,
∴m+n=3/2,mn=-1/2,
∴n/m+m/n=(m²+n²)/mn=[(m+n)²-2mn]/mn=[(3/2)²-2×(-1/2)]/(-1/2)=-13/2.
(2)
∵实数s,t满足2s²-3s-1=0,2t²-3t-1=0,
∴s与t看作是方程2x²-3x-1=0的两个实数根,
∴s+t=3/2,st=-1/2,
∴(s-t)²=(s+t)²-4st=(3/2)²-4×(-1/2)=17/4,
∴s-t=±√17/2,
∴1/s-1/t=(t-s)/st=(s-t)/(-st)=±(√17/2)/(-(-1/2))=±√17.