《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

1. 张老师出示方程 $x^{2}-4= 0$,四位同学给出了以下答案：小丽：$x = 2$；子航：$x = -2$；一帆：$x_{1}= 2$,$x_{2}= -2$；萱萱：$x= \pm4$。你认为谁的答案正确？你的选择是(C)
A.小丽
B.子航
C.一帆
D.萱萱

答案： C

2.(教材改编题)解方程.
(1) $x^{2}-1= 80$；
(2) $9x^{2}+12= 16$。

答案： 解:
(1)移项,得$x^{2}=1+80$,即$x^{2}=81$.直接开平方,得$x=±9$,即$x_{1}=9$,$x_{2}=-9$.
(2)移项,得$9x^{2}=16-12$,即$9x^{2}=4$.二次项系数化为1,得$x^{2}=\frac{4}{9}$.直接开平方,得$x=±\frac{2}{3}$,即$x_{1}=\frac{2}{3}$,$x_{2}=-\frac{2}{3}$.

3. 若一元二次方程 $(x - 2)^{2}= 9$ 可转化为两个一元一次方程,一个一元一次方程是 $x - 2 = 3$,则另一个一元一次方程是($x-2=-3$)
A.$x - 2 = 3$
B.$x - 2 = -3$
C.$x + 2 = 3$
D.$x + 2 = -3$

答案： B[提示:原方程两边开平方可得$x-2=±3$,即$x-2=3$或$x-2=-3$.]

4. 下面是小贝同学解方程 $4(2x - 1)^{2}= 36$ 的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解：$4(2x - 1)^{2}= 36$
$(2x - 1)^{2}= 9……$第一步
$2x - 1 = 3……$第二步
$2x = 4……$第三步
$x = 2……$第四步
(1) 以上解方程的过程中从第二步开始出现错误,错误的原因是求9的平方根出错。
(2) 请写出正确的解题过程。
解:∵$4(2x-1)^{2}=36$,∴$(2x-1)^{2}=9$,∴$2x-1=3$或$2x-1=-3$,∴$2x=4$或$2x=-2$,∴$x_{1}=2$,$x_{2}=-1$.

答案： 解:
(1)二 求9的平方根出错
(2)
∵$4(2x-1)^{2}=36$,
∴$(2x-1)^{2}=9$,
∴$2x-1=3$或$2x-1=-3$,
∴$2x=4$或$2x=-2$,
∴$x_{1}=2$,$x_{2}=-1$.

5. 已知三角形的两边长是 $4$ 和 $6$,第三边的长是方程 $(x - 3)^{2}= 4$ 的根,则此三角形的周长为(15)
A.$17$
B.$11$
C.$15$
D.$11$ 或 $15$

答案： C[提示:$(x-3)^{2}=4$,$x-3=±2$,解得$x_{1}=5$,$x_{2}=1$.若$x=5$,则三角形的三边长分别为4,5,6,其周长为$4+5+6=15$;若$x=1$,不能构成三角形.所以此三角形的周长是15.]

6.(定义新运算题)给出一种运算：对于函数 $y = x^{n}$,规定 $y' = nx^{n - 1}$。例如：若函数 $y = x^{4}$,则有 $y' = 4x^{3}$。已知函数 $y = x^{3}$,则方程 $y' = 12$ 的解是$x=±2$。

答案： $x=±2$[提示:
∵$y=x^{3}$,
∴$y'=3x^{2}$.
∵$y'=12$,
∴$3x^{2}=12$,解得$x=±2$.]

7.(易错题)解关于 $x$ 的方程 $ax^{2}= 2x^{2}+4$。

答案： 解:
∵$ax^{2}=2x^{2}+4$,
∴$(a-2)x^{2}=4$.分类讨论:①当$a≤2$时,则$a-2≤0$,
∵$x^{2}≥0$,
∴$(a-2)x^{2}≤0$,则$(a-2)x^{2}=4$不成立,即此时无解.②当$a＞2$时,则$x^{2}=\frac{4}{a-2}$,
∴$x_{1}=\frac{2\sqrt{a-2}}{a-2}$,$x_{2}=-\frac{2\sqrt{a-2}}{a-2}$.综上,当$a≤2$时,无解;当$a＞2$时,$x_{1}=\frac{2\sqrt{a-2}}{a-2}$,$x_{2}=-\frac{2\sqrt{a-2}}{a-2}$.

8. 若一元二次方程 $ax^{2}= b(ab ＞ 0)$ 的两根分别为 $m + 1$ 与 $2m - 4$。
(1) 求 $m$ 的值；
(2) 求 $\frac{b}{a}$ 的值。

答案： 解:
(1)方程变形,得$x^{2}=\frac{b}{a}$,直接开平方,得$x=±\sqrt{\frac{b}{a}}$,即方程的两根互为相反数.
∵一元二次方程$ax^{2}=b(ab＞0)$的两根分别为$m+1$与$2m-4$,
∴$m+1+2m-4=0$,解得$m=1$.
(2)当$m=1$时,$m+1=2$,$2m-4=-2$,
∵一元二次方程$ax^{2}=b(ab＞0)$的两根分别为$m+1$与$2m-4$,
∴$\frac{b}{a}=(±2)^{2}=4$.

9.(素养题)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(mx + n)^{2}= p$ 的解为 $x_{1}= 2$,$x_{2}= -1$。求关于 $y$ 的方程 $(my - 2m + n)^{2}= p$ 的解。

答案： 解:
∵关于$x$的一元二次方程$(mx+n)^{2}=p$的解为$x_{1}=2$,$x_{2}=-1$,
∴$(2m+n)^{2}=p$,$(-m+n)^{2}=p$.当$my-2m+n=2m+n$时,$my=4m$,$y=4$.当$my-2m+n=-m+n$时,$my=m$,$y=1$.
∴关于$y$的方程$(my-2m+n)^{2}=p$的解为$y_{1}=4$,$y_{2}=1$.