《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

10. (2023·宁夏中考)如图,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC,BC = 2. 点 D 在 BC 上,且 BD : CD = 1 : 3. 连接 AD,线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段 AE,连接 BE,DE. 则△BDE 的面积是($\frac{3}{8}$)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 10.B[提示:
∵线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE,
∴AD=AE,∠DAE=90°,
∴∠EAB+∠BAD=90°.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠BAD+∠CAD=90°,∠C=∠ABC=45°,
∴∠EAB=∠CAD,
∴△EAB≌△DAC(SAS),
∴∠C=∠ABE=45°,CD=BE,
∴∠EBC=∠EBA +∠ABC=90°.
∵BC=2,BD∶CD=1∶3,
∴BD=$\frac{1}{2}$,CD=BE=$\frac{3}{2}$,
∴$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}BD\cdot BE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{8}$.］

11. 如图,在直角坐标系中,线段$ A_1B_1 $是将△ABC 绕着点 P(3,2)逆时针旋转一定角度后得到的$△A_1B_1C_1 $的一部分,则点 C 的对应点$ C_1 $的坐标是( )

A.(-2,3)
B.(-3,2)
C.(-2,4)
D.(-3,3)

答案：
11.A[提示:如图,连接AP,A₁P.
∵线段A₁B₁是将△ABC绕着点P(3,2)逆时针旋转一定角度后得到的△A₁B₁C₁的一部分,
∴A的对应点为A₁,
∴∠APA₁=90°,
∴旋转角为90°,
∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的C₁点的坐标为(-2,3).］

12. 如图,在平面直角坐标系中,边长为 2 个单位长度的正方形 ABCO 绕原点 O 逆时针旋转 75°,再沿 y 轴方向向上平移 1 个单位长度,则点 B''的坐标为 。

答案：
12.$(-\sqrt{2},\sqrt{6}+1)$[提示:如图,过点B'作B'D⊥y轴于D,连接OB,OB';
∵边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°,
∴∠BOB'=75°,∠BOC=45°,OB=OB'=$2\sqrt{2}$,
∴∠B'OD=30°,
∴B'D=$\frac{1}{2}$OB'=$\sqrt{2}$,OD=$\sqrt{3}$B'D=$\sqrt{6}$,
∴B'($-\sqrt{2},\sqrt{6}$).
∵再沿y轴方向向上平移1个单位长度,
∴B''($-\sqrt{2},\sqrt{6}+1$).］

13. (教材改编题)如图(1),点 A 是线段 BC 上一点,△ABD 和△ACE 都是等边三角形.
(1)连接 BE,CD,求证：BE = CD.
(2)如图(2),将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得到△AMN.
①当旋转角为 60°时,边 AN 落在边 AE 上；
②在①的条件下,延长 DN 交 CE 于点 P,连接 BN,CN. 当线段 AB,AC 满足什么数量关系时,△BDN≌△CPN？并给予证明.

答案： 13.
(1)证明:
∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE +∠DAE,即∠BAE=∠DAC.在△BAE和△DAC中,$\left\{\begin{array}{l}AB=AD,\\ ∠BAE=∠DAC,\\ AE=AC,\end{array}\right.$
∴△BAE≌△DAC(SAS),
∴BE=CD.
(2)解:①60° ②当AC=2AB时,△BDN≌△CPN.证明如下:由旋转知AM与AD重合,
∴AB=BD=DN=AN,
∴四边形ABDN是菱形,
∴∠ABN=∠DBN=$\frac{1}{2}$∠ABD=$\frac{1}{2}×60°=30°$,DP//BC.
∵△ACE是等边三角形,
∴AC=AE,∠ACE=60°,
∵AC=2AB,
∴AE=2AN,
∴∠PCN=∠ACN=$\frac{1}{2}$∠ACE=$\frac{1}{2}×60°=30°$,又
∵DP//BC,
∴∠ABN=∠DBN=∠BND=∠ACN=∠PCN=∠PNC=30°.
∴BN=CN.在△BDN与△CPN中,$\left\{\begin{array}{l}∠DBN=∠PCN,\\ BN=CN,\\ ∠BND=∠PNC,\end{array}\right.$
∴△BDN≌△CPN(ASA).］

14. 某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含 30°角(∠E = ∠C = 30°)的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图 1 位置放置,现将 Rt△AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角 α(0° ＜ α ＜ 90°),如图 2,AE 与 BC 交于点 M,AC 与 EF 交于点 N,BC 与 EF 交于点 P.
(1)求证：AM = AN；
(2)当旋转角 α = 30°时,四边形 ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由.

答案：
14.
(1)证明:如图,连接AP,由题意得AB=AF,∠BAM=∠FAN=α.在△ABM和△AFN中,$\left\{\begin{array}{l}∠BAM=∠FAN,\\ AB=AF,\\ ∠B=∠F,\end{array}\right.$
∴△ABM≌△AFN(ASA),
∴AM=AN.
(2)解:当旋转角α=30°时,四边形ABPF是菱形.
∵∠α=30°,
∴∠FAN=30°,
∴∠FAB=120°.
∵∠B=60°,
∴∠B+∠FAB=180°,
∴AF//BP,
∴∠F=∠FPC=60°,
∴∠FPC=∠B=60°,
∴AB//FP,
∴四边形ABPF是平行四边形.
∵AB=AF,
∴平行四边形ABPF是菱形.