《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

1. 用长度一定的绳子围成一个矩形,若矩形的一边长$x(m)与面积y(m^{2})满足函数关系式y = -(x - 12)^{2}+144(0\lt x\lt24)$,则矩形面积的最大值为(B)
A.$12m^{2}$
B.$144m^{2}$
C.$108m^{2}$
D.$36m^{2}$

答案： B

2. (教材改编题)已知一个直角三角形两直角边长之和为$20cm$,则这个直角三角形的最大面积为(50cm²)
A.$25cm^{2}$
B.$50cm^{2}$
C.$100cm^{2}$
D.$125cm^{2}$

答案： B[提示:设一条直角边为x cm,则另一条直角边为(20 -x)cm,
∴S=$\frac{1}{2}x(20-x)=-\frac{1}{2}(x-10)^2+50$.
∵$-\frac{1}{2}＜0$,
∴当x=10时,$S_{最大}=50$cm².]

3. 用总长为$a$米的铝合金材料做成如图(1)的“日”字形窗框(材料厚度忽略不计),窗户的透光面积$y$(平方米)与窗框的宽$x$(米)之间的函数图象如图(2),则$a$的值是6。
]

答案： 6[提示:由图象知,当x=1时,$y_{最大}=1.5$,
∴“日”字形窗框的长为1.5米,
∴a=1×3+1.5×2=6(米).]

4. (教材改编题)如图,在边长为$6cm的正方形ABCD$中,点$E,F,G,H分别从点A,B,C,D$同时出发,均以$1cm/s的速度向点B,C,D,A$匀速运动,当点$E到达点B$时,四个点同时停止运动,在运动过程中,运动时间$t = $3秒时,四边形$EFGH$的面积最小。

答案： 3[提示:设点E运动的时间为t秒,四边形EFGH的面积为S cm²,则AE=t cm,EB=(6 -t)cm,S=$6^2-\frac{1}{2}t(6-t)×4$=36+2(t -3)² -18=2(t -3)² +18,
∴当t=3时,S取得最小值.]

5. 手工课上,小明准备做一个菱形风筝,这个菱形两条对角线长度之和恰好为$60cm$,菱形的面积$S随其中一条对角线的长x$的变化而变化。
(1)求$S与x$之间的函数关系式；(不要求写出自变量取值范围)
(2)当$x$是多少时,菱形风筝的面积$S$最大？最大的面积是多少？

答案： 解:
(1)根据题意得一条对角线的长为x cm,则另一条对角线长为(60 -x)cm,则S=$\frac{1}{2}x(60-x)=-\frac{1}{2}x^2+30x$.
(2)由
(1)得S=$-\frac{1}{2}x^2+30x=-\frac{1}{2}(x-30)^2+450$,故当x=30时,菱形风筝的面积S最大,最大的面积是450 cm².

6. 某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获得利润$y$(元)与降价金额$x$(元)之间的关系是$y = -2x^{2}+60x + 800$,则获利最多为(1250)
A.$15$元
B.$400$元
C.$80$元
D.$1250$元

答案： D[提示:对于抛物线y=$-2x^2+60x+800=-2(x-15)^2+1250$,
∵a=-2＜0,
∴x=15时,y有最大值,最大值为1250.]

7. (教材改编题)服装店将进价为每件$100元的服装按每件x(x\gt100)$元出售,每天可销售$(200 - x)$件,若想获得最大利润,则$x$的取值为(150)
A.$150$
B.$160$
C.$170$
D.$180$

答案： A[提示:设获得的利润为y元,由题意得y=(x -100)(200 -x)=$-x^2+300x-20000=-(x-150)^2+2500$.
∵a=-1＜0,
∴当x=150时,y取得最大值.]

8. (教材改编题)某超市购进一批单价为$8$元的生活用品,如果按每件$9$元出售,那么每天可销售$20$件。经调查发现,这种生活用品的销售单价每提高$1$元,其销售量相应减少$4$件,那么将销售单价定为11元时,才能使每天所获销售利润最大。

答案： 11[提示:设销售单价定为x(x≥9)元,每天所获利润为y元,则y=[20 -4(x -9)]·(x -8)=$-4x^2+88x-448=-4(x-11)^2+36$,
∴将销售单价定为11元时,才能使每天所获销售利润最大.]

9. (2023·辽宁抚顺、葫芦岛中考)电商平台销售某款儿童组装玩具,进价为每件$100$元,在销售过程中发现,每周的销售量$y$(件)与每件玩具售价$x$(元)之间满足一次函数关系(其中$100\leq x\leq160$,且$x$为整数),当每件玩具售价为$120$元时,每周的销量为$80$件；当每件玩具售价为$140$元时,每周的销量为$40$件。
(1)求$y与x$之间的函数关系式；
(2)当每件玩具售价为多少元时,电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？

答案： 解:
(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx +b,
∵当每件玩具售价为120元时,每周的销量为80件,当每件玩具售价为140元时,每周销量为40件,
∴$\begin{cases}120k + b = 80, \\140k + b = 40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2, \\b=320,\end{cases}$即y与x之间的函数关系式为y=-2x +320.
(2)设利润为w元,由题意可得w=(x -100)(-2x +320)=$-2(x-130)^2+1800$,
∴当x=130时,w取得最大值,此时w=1800.答:当每件玩具售价为130元时,电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大,最大周利润是1800元.