《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

11. (2023·江苏宿迁中考)如图,△ABC 是正三角形,点 A 在第一象限,点 B(0,0),C(1,0)。将线段 CA 绕点 C 按顺时针方向旋转 120°至$ CP_1；$将线段$ BP_1$绕点 B 按顺时针方向旋转 120°至$ BP_2；$将线段$ AP_2$绕点 A 按顺时针方向旋转 120°至$ AP_3；$将线段$ CP_3$绕点 C 按顺时针方向旋转 120°至$ CP_4……$以此类推,则点 P_9_9的坐标是 。

答案：
$(-49,50\sqrt{3})$[提示:如图1,画出前4次旋转后点P的位置,由图象可得点P₁,P₄在x轴正半轴上,
∴旋转3次为一个循环.
∵99÷3=33,
∴点P₉₉在射线CA的延长线上,点P₁₀₀在x轴的正半轴上.
∵C(1,0),△ABC是正三角形,

∴由旋转的性质可得AC=CP₁=1,
∴BP₁=OC+CP₁=2,
∴P₁(2,0),
∴BP₂=BP₁=2,
∴AP₃=AP₂=OP₂+AO=3,
∴CP₄=CP₃=CA+AP₃=3+1=4,
∴BP₄=BC+CP₄=5,
∴P₄(5,0),同理可得P₇(8,0),P₁₀(11,0),…,P₁₀₀(101,0),
∴BP₁₀₀=101,
∴CP₁₀₀=101 - 1=100,
∴由旋转的性质可得CP₉₉=100.如图2,过点P₉₉作P₉₉E⊥x轴于点E,
∵∠ACB=60°,
∴∠EP₉₉C=30°,
∴EC=$\frac{1}{2}$P₉₉C=50,
∴EO=EC - OC=49,P₉₉E=$\sqrt{P_{99}C^2-EC^2}$=$50\sqrt{3}$,
∴点P₉₉的坐标是$(-49,50\sqrt{3})$.]

12. (2023·山东聊城中考)如图,已知等腰直角△ABC,∠ACB = 90°,AB = $\sqrt{2}$,点 C 是矩形 ECGF 与△ABC 的公共顶点,且 CE = 1,CG = 3,点 D 是 CB 延长线上一点,且 CD = 2。连接 BG,DF,在矩形 ECGF 绕点 C 按顺时针方向旋转一周的过程中,当线段 BG 达到最长和最短时,线段 DF 对应的长度分别为 m 和 n,则$\frac{m}{n}$的值为 ( )


A.2
B.3
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{13}$

答案：
D[提示:由题意得AC=BC=1.在△BCG中,CG - BC＜BG＜CG+BC,即2＜BG＜4,如图1,当点G在线段BC的延长线时,GB有最大值,
∴DG=DC+CG=5,GF=1,
∴DF=$\sqrt{DG^2+GF^2}$=$\sqrt{5^2+1^2}$=$\sqrt{26}$=m.如图2,当点G在线段CB的延长线上时,GB有最小值,
∴DG=CG - DC=1,FG=1,
∴DF=$\sqrt{FG^2+DG^2}$=$\sqrt{1^2+1^2}$=$\sqrt{2}$=n,
∴$\frac{m}{n}$=$\sqrt{13}$.

13. 如图,在矩形 ABCD 中,BC = 2AB,点 P 为边 AD 上的一个动点,线段 BP 绕点 B 顺时针旋转 60°得到线段 BP',连接 PP',CP'。当点 P'落在边 BC 上时,∠PP'C 的度数为 ；当线段 CP'的长度最小时,∠PP'C 的度数为 。

答案：
120° 75°[提示:如图1,以AB为边向右作等边三角形ABE,连接EP'.
∵△BPP'是等边三角形,
∴∠ABE=∠PBP'=60°,BP=BP',BA=BE,
∴∠ABP=∠EBP'.在△ABP和△EBP'中,$\left\{\begin{array}{l}BA=BE,\\ ∠ABP=∠EBP',\\ BP=BP',\end{array}\right.$
∴△ABP≌△EBP'(SAS),
∴∠BAP=∠BEP'=90°,
∴点P'在射线EP'上运动.如图2,设EP'交BC于点O,当点P'落在BC上时,点P'与O重合,此时∠PP'C=180° - 60°=120°,当CP'⊥EP'时,CP'的长最小,此时∠EBO=∠OCP'=30°,
∴EO=$\frac{1}{2}$OB,OP'=$\frac{1}{2}$OC,
∴EP'=EO+OP'=$\frac{1}{2}$OB+$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$BC.
∵BC=2AB,
∴EP'=AB=EB,
∴∠EBP'=∠EP'B=45°,
∴∠BP'C=45°+90°=135°,
∴∠PP'C=∠BP'C - ∠BP'P=135° - 60°=75°.

14. 如图①,小红在学习了三角形相关知识后,对等腰直角三角形进行了探究,在等腰直角三角形 ABC 中,CA = CB,∠C = 90°,过点 B 作射线 BD⊥AB,垂足为 B,点 P 在 CB 上。
(1)【动手操作】
如图②,若点 P 在线段 CB 上,画出射线 PA,并将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转 90°与 BD 交于点 E,根据题意在图中画出图形,图中∠PBE 的度数为 。
(2)【问题探究】
根据(1)所画图形,探究线段 PA 与 PE 的数量关系,并说明理由。
(3)【拓展延伸】
如图③,若点 P 在射线 CB 上移动,将射线 PA 绕点 P 逆时针旋转 90°与 BD 交于点 E,探究线段 BA,BP,BE 之间的数量关系,并说明理由。

答案：
解:
(1)如图1,
∵CA=CB,∠C=90°,
∴∠ABC=45°.
∵BD⊥AB,
∴∠ABD=90°,
∴∠PBE=∠ABC+∠ABD=45°+90°=135°.
(2)PA=PE.理由如下:过P作PM//AB交AC于M,如图2,
∴∠MPC=∠ABC=45°,
∴△PCM是等腰直角三角形,
∴CP=CM,∠PMC=45°,
∴CA - CM=CB - CP,即AM=BP,∠AMP=135°=∠PBE.
∵∠APE=90°,
∴∠EPB=90° - ∠APC=∠PAC,
∴△APM≌△PEB(ASA),
∴PA=PE.
(3)当P在线段BC上时,过P作PM//AB交AC于M,如图2,由
(2)知BE=PM,BP=AM,
∵AB=$\sqrt{2}$(AM+CM),
∴AB=$\sqrt{2}$BP+$\sqrt{2}$CM.
∵PM=$\sqrt{2}$CM,
∴AB=$\sqrt{2}$BP+BE.当P在线段CB的延长线上时,过P作PN⊥BC交BE于N,如图3,
∵∠ABD=90°,∠ABC=45°,
∴∠PBN=180° - ∠ABC - ∠ABD=45°,
∴△BPN是等腰直角三角形,∠ABP=135°,
∴BP=NP,BN=$\sqrt{2}$BP,∠PNB=45°,
∴∠PNE=135°=∠ABP.
∵∠APE=90°,
∴∠EPN=90° - ∠APN=∠APB,
∴△EPN≌△APB(ASA),
∴EN=BA.
∵BE=EN+BN,
∴BE=BA+$\sqrt{2}$BP.综上,当P在线段BC上时,AB=$\sqrt{2}$BP+BE;当P在线段CB的延长线上时,BE=BA+$\sqrt{2}$BP.