《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

1. (跨学科融合题)地理学上把两翼指向上风方向,迎风坡平缓前进,背风坡陡呈弧线凸出,平面呈抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”.如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘,以抛物线型沙丘最顶端为O点,建立如图2的坐标系,若点A(-15,-100),点B(a,-144)是图2中沙丘左侧两个端点,则a的值为(B)


A.15
B.18
C.24
D.36

答案： B[提示:设抛物线的解析式为$y=mx^{2}$,将点$A(-15,-100)$代入,得$-100=225m$,解得$m=-\frac {4}{9}$,则抛物线解析式为$y=-\frac {4}{9}x^{2}$.当$y=-144$时,$-\frac {4}{9}x^{2}=-144$,解得$x=\pm 18$.
∵点B在第四象限，
∴$a=18$.]

2. (教材改编题)如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽6m,水面下降______m,水面宽8m.

答案：
$\frac {14}{9}$[提示:如图，以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点，由题意得$AO=OB=3$，$C(0,2)$，通过以上条件可设抛物线解析式为$y=ax^{2}+2$.把$A(-3,0)$代入抛物线解析式，得$9a+2=0$，解得$a=-\frac {2}{9}$，
∴抛物线解析式为$y=-\frac {2}{9}x^{2}+2$.当$x=4$时，$y=-\frac {2}{9}×16+2=-\frac {14}{9}$，
∴水面下降$\frac {14}{9}$米.]

3. 现要修建一条隧道,其截面为抛物线型,如图所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE= 10m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.
(1)求满足设计要求的抛物线的解析式;
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6m,求点A,B的坐标.

答案： 解:
(1)由题意知抛物线的顶点为$P(5,9)$，
∴可以设抛物线的解析式为$y=a(x-5)^{2}+9$.把$(0,0)$代入，得$25a+9=0$，解得$a=-\frac {9}{25}$，
∴抛物线的解析式为$y=-\frac {9}{25}(x-5)^{2}+9$.
(2)令$y=6$，得$-\frac {9}{25}(x-5)^{2}+9=6$，解得$x_{1}=\frac {5\sqrt {3}}{3}+5$，$x_{2}=-\frac {5\sqrt {3}}{3}+5$，
∴$A(5-\frac {5\sqrt {3}}{3},6)$，$B(5+\frac {5\sqrt {3}}{3},6)$.

4. (教材改编题)如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系$:h= -5t^2+20t,$则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间t= 2s.

答案： 2[提示:$\because h=-5t^{2}+20t=-5(t-2)^{2}+20$，且$-5＜0$，
∴当$t=2$时，h取最大值20.]

5. 从喷水池喷头喷出的水珠,在空中形成一条抛物线,如图,在抛物线各个位置上,水珠的竖直高度y(单位:m)与它距离喷头的水平距离x(单位:m)之间满足函数关系式$y= -2x^2+4x+1,$则喷出水珠的最大高度是3m.

答案： 3[提示:$\because y=-2x^{2}+4x+1=-2(x-1)^{2}+3$，
∴当$x=1$时，y有最大值，为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m.]

6. 一名运动员在10m高的跳台进行跳水,身体(看成一点)在空中的运动轨迹是一条抛物线,运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示,运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点,当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.

答案： 解:
(1)根据题意可得抛物线过$(0,10)$和$(3,7)$，对称轴为直线$x=1$，设y关于x的函数解析式为$y=ax^{2}+bx+c$，
∴$\begin{cases} c=10 \\ 9a + 3b + c = 7 \\ -\frac{b}{2a}=1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a=-1 \\ b=2 \\ c=10 \end{cases}$，
∴y关于x的函数解析式为$y=-x^{2}+2x+10$.
(2)在$y=-x^{2}+2x+10$中，令$y=0$得$0=-x^{2}+2x+10$，解得$x=\sqrt {11}+1$或$x=-\sqrt {11}+1$(舍去)，
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为$(\sqrt {11}+1)m$.