《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

10. 如图,在平面直角坐标系中,有两条抛物线,它们的对称轴相同,则下列关系中,不正确的是 (A)

A.$ m = k $
B.$ m = h $
C.$ k ＞ n $
D.$ h ＜ 0 $,$ n ＞ 0 $

答案： A[提示:由函数的图象可知，两条抛物线的对称轴相同，则$m = h$,故B正确.抛物线$y = \frac{1}{2}(x - m)^2 + n$的顶点在抛物线$y = \frac{1}{4}(x - h)^2 + k$的顶点的下方,则$k ＞ n$,故C正确.
∵对称轴在y轴的左侧，顶点在x轴上方，
∴$h ＜ 0$,$m ＜ 0$,$k ＞ 0$,$n ＞ 0$,故D正确.]

11. 已知二次函数 $ y = a(x - 1)^2 - a(a \neq 0) $,当 $ -1 \leq x \leq 4 $ 时,$ y $ 的最小值为 $ -4 $,则 $ a $ 的值为 (4或$-\frac{1}{2}$)
A.$ \frac{1}{2} $ 或 $ 4 $
B.$ \frac{4}{3} $ 或 $ -\frac{1}{2} $
C.$ -\frac{4}{3} $ 或 $ 4 $
D.$ -\frac{1}{2} $ 或 $ 4 $

答案： D[提示:抛物线$y = a(x - 1)^2 - a$的对称轴为直线$x = 1$,顶点坐标为$(1, -a)$.当$a ＞ 0$时,在$-1\leqslant x\leqslant4$,函数有最小值$-a$,
∵y的最小值为$-4$,
∴$-a = -4$,$a = 4$.当$a ＜ 0$时，在$-1\leqslant x\leqslant4$,当$x = 4$时，函数有最小值，
∴$9a - a = -4$,解得$a = -\frac{1}{2}$.综上,a的值为4或$-\frac{1}{2}$]

12. 点 $ A(m - 1,y_1) $,$ B(m,y_2) $ 都在二次函数 $ y = (x - 1)^2 + n $ 的图象上。若 $ y_1 ＜ y_2 $,则 $ m $ 的取值范围为 ($m ＞ \frac{3}{2}$)
A.$ m ＞ 2 $
B.$ m ＞ \frac{3}{2} $
C.$ m ＜ 1 $
D.$ \frac{3}{2} ＜ m ＜ 2 $

答案： B[提示:
∵点$A(m - 1, y_1)$,$B(m, y_2)$都在二次函数$y = (x - 1)^2 + n$的图象上，
∴$y_1 = (m - 1 - 1)^2 + n = (m - 2)^2 + n$,$y_2 = (m - 1)^2 + n$.
∵$y_1 ＜ y_2$,
∴$(m - 2)^2 + n ＜ (m - 1)^2 + n$,
∴$(m - 2)^2 - (m - 1)^2 ＜ 0$,即$-2m + 3 ＜ 0$,
∴$m ＞ \frac{3}{2}$]

13. (易错题) 已知抛物线 $ y = (x + a)^2 + 2a^2 + 3a - 5 $。
(1) 若顶点在坐标轴上,求字母 $ a $ 的值,并指出顶点坐标；
(2) 若顶点在直线 $ x = 2 $ 上,求字母 $ a $ 的值,并指出顶点坐标。

答案： 解:
(1)当顶点在x轴上时,$2a^2 + 3a - 5 = 0$,解得$a_1 = 1$,$a_2 = -\frac{5}{2}$.当顶点在y轴上时，$-a = 0$,解得$a = 0$.综上,当$a = 1$时,顶点坐标为$(-1, 0)$;当$a = -\frac{5}{2}$时，顶点坐标为$(\frac{5}{2}, 0)$;当$a = 0$时,顶点坐标为$(0, -5)$.
(2)
∵抛物线$y = (x + a)^2 + 2a^2 + 3a - 5$,顶点在直线$x = 2$上,
∴$-a = 2$,解得$a = -2$,
∴抛物线为$y = (x - 2)^2 - 3$,此时抛物线的顶点坐标为$(2, -3)$,即a的值是$-2$,此时抛物线的顶点坐标为$(2, -3)$.

14. (新定义题) 如图,抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k(a ＜ 0,k ＞ 0) $ 的顶点为 $ A $,对称轴与 $ x $ 轴交于点 $ C $,当以 $ AC $ 为对角线的正方形 $ ABCD $ 的另外两个顶点 $ B $,$ D $ 恰好在抛物线上时,我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”,正方形 $ ABCD $ 为它的内接正方形。

(1) 当抛物线 $ y = ax^2 + 2 $ 是“美丽抛物线”时,$ a = $-1；
(2) 当抛物线 $ y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + k $ 是“美丽抛物线”时,$ k = $4；
(3) 若抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 是“美丽抛物线”,求 $ a $,$ k $ 之间的数量关系。
抛物线经过$(h + \frac{1}{2}k, \frac{1}{2}k)$,∴$\frac{1}{2}k = a(h + \frac{1}{2}k - h)^2 + k$,解得$ak = -2$,故a,k之间的数量关系为$ak = -2$.

答案： 解:
(1)
∵$y = ax^2 + 2$,
∴抛物线顶点A坐标为$(0, 2)$,
∴点C坐标为$(0, 0)$,
∴点B坐标为$(-1, 1)$，点D坐标为$(1, 1)$.将$(1, 1)$代入$y = ax^2 + 2$得$1 = a + 2$,解得$a = -1$.
(2)
∵$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + k$,
∴抛物线顶点A坐标为$(1, k)$,点C坐标为$(1, 0)$,
∴点D坐标为$(1 + \frac{1}{2}k, \frac{1}{2}k)$.将$(1 + \frac{1}{2}k, \frac{1}{2}k)$代入$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + k$,得$\frac{1}{2}k = -\frac{1}{2}(1 + \frac{k}{2} - 1)^2 + k$,解得$k = 0$(舍)或$k = 4$.
(3)抛物线经过$(h + \frac{1}{2}k, \frac{1}{2}k)$,
∴$\frac{1}{2}k = a(h + \frac{1}{2}k - h)^2 + k$,解得$ak = -2$,故a,k之间的数量关系为$ak = -2$.

15. (探究题) 数形结合是解决数学问题的重要方法。小爱同学学习二次函数后,对函数 $ y = -(|x| - 1)^2 $ 进行了探究。在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图的函数图象。请根据函数图象,回答下列问题：

(1) 观察探究：
① 写出该函数的一条性质：______；
② 方程 $ -(|x| - 1)^2 = -1 $ 的解为：______；
③ 若方程 $ -(|x| - 1)^2 = a $ 有四个实数根,则 $ a $ 的取值范围是______。
(2) 延伸思考：
① 将函数 $ y = -(|x| - 1)^2 $ 的图象经过怎样的平移,可得到函数 $ y_1 = -(|x - 2| - 1)^2 + 3 $ 的图象？画出平移后的图象。
② 观察平移后的图象,当 $ 2 \leq y_1 \leq 3 $ 时,直接写出自变量 $ x $ 的取值范围：______。

答案：
解:
(1)观察探究:①函数图象关于y轴对称(答案不唯一) ②$x = -2$或$x = 0$或$x = 2$ ③$-1 ＜ a ＜ 0$
(2)①将函数$y = -( |x| - 1)^2$的图象向右平移2个单位,再向上平移3个单位可得到函数$y = -( |x - 2| - 1)^2 + 3$的图象,如图.②当$2\leqslant y\leqslant3$时，自变量x的取值范围是$0\leqslant x\leqslant4$.