《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

1. 函数 $ y = -x^2 + 1 $ 的图象大致为 (B)
]

答案： B[提示:
∵ 二次项系数a = -1 ＜ 0,
∴ 抛物线开口向下.
∵ 一次项系数b = 0,
∴ 对称轴为y轴.
∵ 常数项c = 1,
∴ 图象与y轴交于点(0,1).]

2. 抛物线的解析式为 $ y = -2x^2 - 1 $,则顶点坐标是 (C)
A.$ (-2, -1) $
B.$ (2, 1) $
C.$ (0, -1) $
D.$ (0, 1) $

答案： C

3. (2023·重庆月考) 关于二次函数 $ y = 3x^2 + 6 $ 的图象,下列结论不正确的是 (D)
A.开口向上
B.$ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.对称轴是 $ y $ 轴
D.抛物线过点 $ (0, -6) $

答案： D

4. (2023·江苏镇江中考) 二次函数 $ y = -2x^2 + 9 $ 的最大值等于 9。

答案： 9

5. (2023·广东广州中考) 已知点 $ A(x_1, y_1) $,$ B(x_2, y_2) $ 在抛物线 $ y = x^2 - 3 $ 上,且 $ 0 ＜ x_1 ＜ x_2 $,则 $ y_1 $ ＜ $ y_2 $。(填“＜”“＞”或“=”)

答案： ＜[提示:抛物线y = x² - 3的开口向上,对称轴为y轴,
∴ 当x ＞ 0时y随x的增大而增大.
∵ 0 ＜ x₁ ＜ x₂,
∴ y₁ ＜ y₂.]

6. 已知二次函数 $ y = (k + 2)x^2 + (k + 3) $。
(1) 若函数图象有最高点,求 $ k $ 的取值范围；
(2) 若函数图象与 $ y $ 轴交于正半轴,求 $ k $ 的取值范围。

答案： 解:
(1)根据题意,可得k + 2 ＜ 0,解得k ＜ -2.
(2)根据题意,可得k + 3 ＞ 0,解得k ＞ -3.又
∵ 函数y = (k + 2)x² + (k + 3)是二次函数,
∴ k + 2 ≠ 0,
∴ k ≠ -2,
∴ k ＞ -3且k ≠ -2.

7. 已知二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象经过点 $ (1, -1) $,$ (2, 2) $。
(1) 求该函数的解析式,并写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2) 判断点 $ (-3, 7) $ 是否在这个二次函数的图象上,并说明理由；
(3) 在如图的平面直角坐标系内画出这个函数的图象,并根据图象写出函数值 $ y $ 为负数时,自变量 $ x $ 的取值范围。
]

答案：
解:
(1)根据题意,得$\begin{cases}a + k = -1\\4a + k = 2\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = 1\\k = -2\end{cases}$,
∴ 二次函数的解析式为y = x² - 2,
∴ 这个二次函数图象的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-2).
(2)当x = -3时,y = x² - 2 = (-3)² - 2 = 7,
∴ 点(-3,7)在这个二次函数的图象上.
(3)函数图象如图.当y = 0时,x² - 2 = 0,解得x = -√2或x = √2,则A(-√2,0),B(√2,0),由函数图象知函数值y为负数时,-√2 ＜ x ＜ √2.
　　　　　

8. 要得到抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^2 + 4 $,可将抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^2 $ (A)
A.向上平移 4 个单位长度
B.向下平移 4 个单位长度
C.向右平移 4 个单位长度
D.向左平移 4 个单位长度

答案： A

9. 将抛物线 $ y = 2x^2 $ 向上平移 $ b(b ＞ 0) $ 个单位长度后,所得新抛物线经过点 $ (1, 4) $,则 $ b $ 的值为 2。

答案： 2[提示:将抛物线y = 2x²向上平移b个单位后可得抛物线y = 2x² + b,将(1,4)代入y = 2x² + b,得4 = 2 + b,解得b = 2.]

10. 把抛物线 $ y = ax^2 + c $ 向下平移 3 个单位长度后得到抛物线 $ y = -2x^2 - 1 $。
(1) 求平移前的抛物线的解析式；
(2) 求函数 $ y = ax^2 + c $ 的最大值或最小值,并指出相应的 $ x $ 的值；
(3) 指出当 $ x $ 为何值时,(1) 中函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： 解:
(1)
∵ 把抛物线y = ax² + c向下平移3个单位长度后得到抛物线y = -2x² - 1,
∴ a = -2,c - 3 = -1,
∴ c = 2,
∴ 平移前的抛物线的解析式为y = -2x² + 2.
(2)
∵ a = -2 ＜ 0,
∴ 当x = 0时,函数y = -2x² + 2取最大值,最大值为2.
(3)
∵ 原抛物线的对称轴为直线x = 0,且a = -2 ＜ 0,
∴ 当x ＞ 0时,函数值y随x的增大而减小.