《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

1. (2023·湖南永州中考)如图,⊙O是一个盛有水的容器的横截面,⊙O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为______ cm.

答案：
16[提示:如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，
∴AC=BC= $\frac{1}{2}$AB。由题意知OA=10，CD=4，
∴OC =6。在Rt△AOC中，AC= $\sqrt{OA^2-OC^2}$ = $\sqrt{10^2-6^2}$ =8，
∴AB=2AC=16cm。

2. 如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是⊙O中弦AB的中点,CD经过圆心O交⊙O于点D,并且AB = 4 m,CD = 6 m,则⊙O的半径为______ m.

答案：
$\frac{10}{3}$[提示:连接OA，如图，设⊙O的半径为r m，
∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，
∴CD⊥AB，AC=BC= $\frac{1}{2}$AB=2。在Rt△AOC中，
∵OA=r，OC=6 - r，
∴$2^2+(6 - r)^2=r^2$，解得r= $\frac{10}{3}$，即⊙O的半径为 $\frac{10}{3}$m。

3. 如图,小区内有个圆形花坛O,点C在弦AB上,AC = 11,BC = 21,OC = 13,则这个花坛的面积为______. (结果保留π)

答案：
400π[提示:如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D。
∵OD ⊥AB，OD过圆心，AB是弦，
∴AD=BD= $\frac{1}{2}$AB= $\frac{1}{2}$(AC + BC)= $\frac{1}{2}$×(11 + 21)=16，
∴CD=BC - BD=21 - 16=5。在Rt△COD中，$OD^2=OC^2 - CD^2=13^2 - 5^2=144$，在Rt△BOD中，$OB^2=OD^2 + BD^2=144 + 256=400$，
∴$S_{\odot O}=π×OB^2=400π$。

4. (2023·四川广安中考)如图,△ABC内接于⊙O,圆的半径为7,∠BAC = 60°,则弦BC的长度为______.

答案：
$7\sqrt{3}$[提示:作OD⊥BC于点D，连接OB，OC，如图。
∵∠BAC =60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°。
∵OD⊥BC，
∴∠BOD=60°，BD=CD，
∴∠OBD=30°，
∴OD= $\frac{1}{2}$OB= $\frac{7}{2}$，
∴BD= $\sqrt{OB^2 - OD^2}=\sqrt{7^2 - (\frac{7}{2})^2}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2BD= $7\sqrt{3}$。

5. 如图,已知AB是圆O的直径,弦CD交AB于点E,∠CEA = 30°,OE = 4,DE = 5√{3},求弦CD及圆O的半径.

答案：
解:如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，
∵∠CEA=30°，
∴∠OEM=∠CEA=30°。在Rt△OEM中，
∵OE=4，
∴OM= $\frac{1}{2}$OE=2，EM= $\sqrt{OE^2 - OM^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
∵DE= $5\sqrt{3}$，
∴DM=DE - EM= $3\sqrt{3}$。
∵OM过圆心，OM⊥CD，
∴CD=2DM，
∴CD= $6\sqrt{3}$。
∵OM=2，DM= $3\sqrt{3}$，
∴在Rt△DOM中，OD= $\sqrt{OM^2 + DM^2}=\sqrt{2^2 + (3\sqrt{3})^2}=\sqrt{31}$，
∴弦CD的长为 $6\sqrt{3}$，⊙O的半径为 $\sqrt{31}$。

6. (2023·辽宁营口中考)如图,AD是⊙O的直径,弦BC交AD于点E,连接AB,AC,若∠BAD = 30°,则∠ACB的度数是 (D)

A.50°
B.40°
C.70°
D.60°

答案： D[提示:连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°。
∵∠BAD=30°，
∴∠ADB=90° - 30°=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°。]

7. 如图,△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径. 若∠CAD = ∠B,AD = 8,则AC的长为 (4√2)

A.5
B.4√{2}
C.5√{2}
D.4√{3}

答案： B[提示:连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC + ∠CAD=90°。
∵∠CAD=∠B，
∴∠ADC + ∠B=90°。
∵∠ADC=∠B，
∴∠ADC=∠B=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC= $4\sqrt{2}$。]

8. 如图,AB是⊙O的直径,D是弦AC的延长线上一点,且CD = AC,DB的延长线交⊙O于点E.
(1)求证：CD = CE；
(2)若∠D = 25°,求∠BAE的度数.

答案：

(1)证明:如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB =90°，即BC⊥AD，
∵CD = AC，
∴AB=BD，
∴∠BAC=∠D，
∵∠CEB=∠BAC，
∴∠CEB=∠D，
∴CE=CD。
(2)解:连接AE，
∵∠ABE=∠BAC + ∠D=50°，AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=90° - 50°=40°。

9. (2023·重庆中考)如图,AC是⊙O的切线,B为切点,连接OA,OC. 若∠A = 30°,AB = 2√{3},BC = 3,则OC的长度是 (C)

A.3
B.2√{3}
C.√{13}
D.6

答案： C[提示:连接OB，
∵AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AC，
∴∠ABO =∠CBO=90°。
∵∠A=30°，AB= $2\sqrt{3}$，
∴OB=2。
∵BC=3，
∴OC= $\sqrt{BC^2 + OB^2}=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{13}$。