《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

12. (数学文化)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为$x$株,则符合题意的方程是(A)
A.$3(x - 1)x = 6210$
B.$3(x - 1) = 6210$
C.$(3x - 1)x = 6210$
D.$3x = 6210$

答案： A[提示:
∵ 这批椽的数量为$x$株,每株椽的运费是3文,少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,
∴ 一株椽的价钱为$3(x-1)$文.利用总价=单价×数量,得$3(x-1)x=6210$.]

13. (2023·山东枣庄中考)若$x = 3是关于x的方程ax^2 - bx = 6$的解,则$2023 - 6a + 2b$的值为2019.

答案： 2019[提示:把$x=3$代入方程$ax^{2}-bx=6$,得$9a-3b=6$,即$3a-b=2$,则原式$=2023-2(3a-b)=2023-4=2019$.]

14. (新考法)一元二次方程$a(x^2 + 1) + b(x + 2) + c = 0化为一般形式后为6x^2 + 10x - 1 = 0$,求以$a$,$b$为两条对角线长的菱形的面积.

答案： 解:
∵ 原方程化为一般形式为$ax^{2}+bx+(a+2b+c)=0$,
∴ $a=6,b=10$,
∴ $S_{菱形}=\frac{1}{2}×6×10=30$.

15. (易错题)已知关于$x的方程(m - 3)x^{m^2 - 7} + (m - 2)x + 5 = 0$.
(1)$m$为何值时,方程是一元二次方程？
(2)$m$为何值时,方程是一元一次方程？

答案： 解:
(1)
∵ 关于$x$的方程$(m-3)x^{m^{2}-7}+(m-2)x+5=0$是一元二次方程,
∴ $m^{2}-7=2$且$m-3\neq0$,解得$m=-3$.故$m=-3$时,方程是一元二次方程.
(2)
∵ 关于$x$的方程$(m-3)x^{m^{2}-7}+(m-2)x+5=0$是一元一次方程,
∴ $m-3=0$且$m-2\neq0$或$m^{2}-7=1$且$m-3+m-2\neq0$或$m^{2}-7=0$且$m-2\neq0$,解得$m=3$或$m=\pm2\sqrt{2}$或$m=\pm\sqrt{7}$.故$m=3$或$\pm2\sqrt{2}$或$\pm\sqrt{7}$时,方程是一元一次方程.

16. 某学校为美化校园,准备在长$35m$、宽$20m$的长方形场地上,修建若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪并请全校学生参与方案设计,现有3位同学各设计了一种方案,图纸分别如图(1)(2)(3)所示(阴影部分为草坪).

请你根据这一问题,在每种方案中都只列出方程不解.
(1)甲方案设计图纸为图(1),设计草坪的总面积为$600m^2$；
(2)乙方案设计图纸为图(2),设计草坪的总面积为$600m^2$；
(3)丙方案设计图纸为图(3),设计草坪的总面积为$540m^2$.
]

答案： 解:
(1)设道路的宽为$x\ m$.根据题意,得$(35-2x)(20-2x)=600$.
(2)设道路的宽为$x\ m$.根据题意,得$(35-x)\cdot(20-x)=600$.
(3)设道路的宽为$x\ m$.根据题意,得$(35-2x)(20-x)=540$.

17. (阅读理解题)请阅读下列材料：
问题：已知方程$x^2 + x - 1 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为$y$,则$y = 2x$,所以$x = \frac{y}{2}$.
把$x = \frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} - 1 = 0$.
化简,得$y^2 + 2y - 4 = 0$,
故所求方程为$y^2 + 2y - 4 = 0$.
这种利用方程的根代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式).
(1)已知方程$x^2 + x - 2 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为$y^{2}-y-2=0$；
(2)已知方程$2x^2 - 7x + 3 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.

答案： 解:
(1)设所求方程的根为$y$,则$y=-x$,
∴ $x=-y$.把$x=-y$代入已知方程,得$(-y)^{2}+(-y)-2=0$,化简得$y^{2}-y-2=0$.故所求方程为$y^{2}-y-2=0$.
(2)设所求方程的根为$y$,则$y=\frac{1}{x}$,
∴ $x=\frac{1}{y}$.把$x=\frac{1}{y}$代入已知方程,得$2\left(\frac{1}{y}\right)^{2}-7\cdot\frac{1}{y}+3=0$,化简得$3y^{2}-7y+2=0$.故所求方程为$3y^{2}-7y+2=0$.