《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

1. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴有一个公共点,这对应着一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根的情况是(B)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案： B

2. (教材改编题)抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 如图所示,则一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的解是(C)

A.$ x = - 2 $
B.$ x = 3 $
C.$ x = - 2 $ 或 $ x = 3 $
D.无法确认
]

答案： C

3. (易错题))已知函数 $ y = mx^{2} + 3mx + m - 1 $ 的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数 $ m $ 的值为1 或 $-\frac{4}{5}$.

答案： 1 或 $-\frac{4}{5}$[提示:当$m = 0$时,$y = -1$,与坐标轴只有一个交点，不符合题意。当$m≠0$时，
∵函数$y = mx² + 3mx + m - 1$的图象与坐标轴恰有两个公共点，
∴①过坐标原点，$m - 1 = 0$，$m = 1$。②与$x$，$y$轴各一个交点，
∴$\Delta = 0$，$m≠0$，$(3m)² - 4m(m - 1) = 0$，解得$m = 0$（舍去）或$m = -\frac{4}{5}$。综上，$m = 1$或$-\frac{4}{5}$。]

4. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} $ 与直线 $ y = kx + b $ 的两个交点分别为 $ A( - 2,4) $,$ B(1,1) $,则方程 $ ax^{2} = kx + b $ 的解是$x_1 = -2$，$x_2 = 1$.
]

答案： $x_1 = -2$，$x_2 = 1$[提示:
∵抛物线$y = ax²$与直线$y = kx + b$的两个交点分别为$A(-2, 4)$，$B(1, 1)$，
∴方程组$\begin{cases}y = ax²\\y = kx + b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x_1 = -2\\y_1 = 4\end{cases}$，$\begin{cases}x_2 = 1\\y_2 = 1\end{cases}$，即关于$x$的方程$ax² - kx - b = 0$的解为$x_1 = -2$，$x_2 = 1$。
∴方程$ax² = kx + b$的解是$x_1 = -2$，$x_2 = 1$。]

5. 已知二次函数 $ y = x^{2} + mx + m^{2} - 3 $($ m $ 为常数,$ m＞0 $)的图象经过点 $ P(2,4) $.
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 判断二次函数 $ y = x^{2} + mx + m^{2} - 3 $ 的图象与 $ x $ 轴交点的个数,并说明理由.

答案： 解:
(1)将$(2, 4)$代入$y = x² + mx + m² - 3$得$4 = 4 + 2m + m² - 3$，解得$m_1 = 1$，$m_2 = -3$。又
∵$m＞0$，
∴$m = 1$。
(2)
∵$m = 1$，
∴$y = x² + x - 2$。
∵$\Delta = b² - 4ac = 1² + 8 = 9＞0$，
∴二次函数图象与$x$轴有$2$个交点。

6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + x - m = 0 $.
(1) 若方程有两个不相等的实数根,求 $ m $ 的取值范围；
(2) 二次函数 $ y = x^{2} + x - m $ 的部分图象如图,求一元二次方程 $ x^{2} + x - m = 0 $ 的解.
]

答案： 解:
(1)
∵一元二次方程$x² + x - m = 0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta＞0$，即$1 + 4m＞0$，
∴$m＞-\frac{1}{4}$。
(2)二次函数$y = x² + x - m$图象的对称轴为直线$x = -\frac{1}{2}$，
∴抛物线与$x$轴两个交点关于直线$x = -\frac{1}{2}$对称。由图象可知抛物线与$x$轴的一个交点为$(1, 0)$，
∴另一个交点为$(-2, 0)$，
∴一元二次方程$x² + x - m = 0$的解为$x_1 = 1$，$x_2 = -2$。

7. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 中,函数 $ y $ 与自变量 $ x $ 的部分对应值如下表,则方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的一个解 $ x $ 的范围是(B)

A.$ 1 ＜ x ＜ 1.1 $
B.$ 1.1 ＜ x ＜ 1.2 $
C.$ 1.2 ＜ x ＜ 1.3 $
D.$ 1.3 ＜ x ＜ 1.4 $

答案： B

8. 如图是二次函数 $ y = - x^{2} + bx + c $ 的部分图象,由图象可知,不等式 $ - x^{2} + bx + c ＞ 0 $ 的解集为$-1＜x＜5$.
]

答案： $-1＜x＜5$[提示:抛物线的对称轴为直线$x = 2$，而抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(5, 0)$，
∴抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-1, 0)$，
∴不等式$-x² + bx + c＞0$的解集为$-1＜x＜5$。]

9. 如图,一次函数 $ y_{1} = - x + m $ 与二次函数 $ y_{2} = ax^{2} + bx - 3 $ 的图象都经过点 $ A( - 1,0) $,$ B(2, - 3) $. 则当 $ y_{1} \leqslant y_{2} $ 时,自变量 $ x $ 的取值范围为$x\leqslant -1$或$x\geqslant 2$.
]

答案： $x\leqslant -1$或$x\geqslant 2$