《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

1. (教材改编题)用适当的数填空:
(1)$x^{2}-5x+$$\frac{25}{4}$$=(x-$____$\frac{5}{2}$$)^{2}$;
(2)$x^{2}-\frac{2}{5}x+$$\frac{1}{25}$$=(x-$____$\frac{1}{5}$$)^{2}$.

答案： 1.
(1)$\frac{25}{4}$ $\frac{5}{2}$
(2)$\frac{1}{25}$ $\frac{1}{5}$

2. 用配方法解方程$x^{2}-2x= 2$时,配方后正确的是 (C)
A.$(x+1)^{2}= 3$
B.$(x+1)^{2}= 6$
C.$(x-1)^{2}= 3$
D.$(x-1)^{2}= 6$

答案： C

3. 解方程:$x^{2}-6x-1= 0$.

答案： 解:移项,得$x^{2}-6x=1$.配方,得$x^{2}-6x+9=10$,即$(x-3)^{2}=10$.直接开平方,得$x-3=\pm \sqrt{10}$,解得$x_{1}=3+\sqrt{10}$,$x_{2}=3-\sqrt{10}$.

4. (新考法)某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程,每人负责完成一个步骤.如图,老师看后,发现有一位同学所负责的步骤是错误的,则这位同学是 (B)

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

答案： B

5. (教材改编题)用配方法解方程$3x^{2}-2x-1= 0$.

答案： 解:移项,得$3x^{2}-2x=1$.二次项系数化成1,得$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$.配方,得$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$,即$(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}$.直接开平方,得$x-\frac{1}{3}=\pm \frac{2}{3}$,解得$x_{1}=-\frac{1}{3}$,$x_{2}=1$.

6. 已知关于$x的方程x^{2}+4x+n= 0可以配方成(x+m)^{2}= 3$,则$(m-n)^{2023}= $1.

答案： 1[提示:由$(x+m)^{2}=3$,得$x^{2}+2mx+m^{2}-3=0$,$\therefore 2m=4$,$m^{2}-3=n$,$\therefore m=2$,$n=1$,$\therefore (m-n)^{2023}=1$.]

7. 已知$a是不等式5(a-2)+8＜6(a-1)+7$的最小整数解,请用配方法解关于$x的方程x^{2}+2ax+a+1= 0$.

答案： 解:解不等式$5(a-2)+8＜6(a-1)+7$,得$a＞-3$,$\therefore$最小整数解为-2.将$a=-2$代入方程$x^{2}+2ax+a+1=0$,得$x^{2}-4x-1=0$.移项,得$x^{2}-4x=1$.配方,得$(x-2)^{2}=5$.直接开平方,得$x-2=\pm \sqrt{5}$.解得$x_{1}=2+\sqrt{5}$,$x_{2}=2-\sqrt{5}$.

8. (探究题)根据要求解答下列问题.
(1)①方程$x^{2}-x-2= 0$的解为$x_{1}=-1$,$x_{2}=2$;
②方程$x^{2}-2x-3= 0$的解为$x_{1}=-1$,$x_{2}=3$;
③方程$x^{2}-3x-4= 0$的解为$x_{1}=-1$,$x_{2}=4$;
…
(2)①根据以上方程特征及其解的特征,请猜想方程$x^{2}-9x-10= 0$的解为$x_{1}=-1$,$x_{2}=10$;
②请用配方法解方程$x^{2}-9x-10= 0$,以验证猜想的正确性.
$x^{2}-9x-10=0$,移项,得$x^{2}-9x=10$.配方,得$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=10+\frac{81}{4}$,即$(x-\frac{9}{2})^{2}=\frac{121}{4}$.开平方,得$x-\frac{9}{2}=\pm \frac{11}{2}$,即$x_{1}=-1$,$x_{2}=10$.
(3)应用:关于$x$的方程$x^{2}-nx-(n+1)=0$的解为$x_{1}= -1,x_{2}= n+1$.

答案： 解:
(1)①$x_{1}=-1$,$x_{2}=2$ ②$x_{1}=-1$,$x_{2}=3$ ③$x_{1}=-1$,$x_{2}=4$
(2)①$x_{1}=-1$,$x_{2}=10$ ②$x^{2}-9x-10=0$,移项,得$x^{2}-9x=10$.配方,得$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=10+\frac{81}{4}$,即$(x-\frac{9}{2})^{2}=\frac{121}{4}$.开平方,得$x-\frac{9}{2}=\pm \frac{11}{2}$,即$x_{1}=-1$,$x_{2}=10$.
(3)$x^{2}-nx-(n+1)=0$

9. 大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时,都要先把二次项系数化为1,再进行配方,现请你阅读如下解方程的方法.
解方程$2x^{2}-2\sqrt{2}x-3= 0$.
解:$2x^{2}-2\sqrt{2}x= 3$,
$(\sqrt{2}x)^{2}-2\sqrt{2}x+1= 3+1$,
$(\sqrt{2}x-1)^{2}= 4$,
$\sqrt{2}x-1= \pm2$,
$x_{1}= -\frac{\sqrt{2}}{2},x_{2}= \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
根据上述方法解方程$3x^{2}-2\sqrt{6}x= 2$.

答案： 解:$3x^{2}-2\sqrt{6}x=2$,$(\sqrt{3}x)^{2}-2× \sqrt{3}× \sqrt{2}x+(\sqrt{2})^{2}=2+(\sqrt{2})^{2}$,$(\sqrt{3}x-\sqrt{2})^{2}=4$,$\sqrt{3}x-\sqrt{2}=\pm 2$,$x_{1}=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{3}$,$x_{2}=\frac{\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{3}$.