《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

1. 下列平面图形：线段、两相交直线、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆,其中是中心对称图形的有线段、两相交直线、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆；既是轴对称图形,又是中心对称图形的有线段、两相交直线、矩形、菱形、正方形、圆。

答案： 线段、两相交直线、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆 线段、两相交直线、矩形、菱形、正方形、圆

2. 如图,如果三角形 BCD 旋转后能与等边三角形 ABC 重合,那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 3个。

答案： 3[提示:
∵△BCD绕点B顺时针旋转60°能与等边三角形ABC重合,△BCD绕点C逆时针旋转60°能与等边三角形ABC重合,△BCD绕BC的中点顺时针旋转180°能与等边三角形ABC重合,
∴图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个.]

3. 如图,点 A 的坐标为( - 1,5),点 B 的坐标为(3,3),点 C 的坐标为(5,3),点 D 的坐标为(3,- 1),雷雷发现,线段 AB 可以绕着某点旋转某个角度与线段 CD 重合,这个点的坐标为 。

答案：
(1,1)或(4,4)[提示:如图,旋转中心为K或K',故这个点为K(1,1)或K'(4,4).]

4. 如图,在平面直角坐标系中,点 A( - 1,2),OC = 4,将平行四边形 OABC 绕点 O 旋转 90°后,点 B 的对应点的坐标是 。

答案：
(-2,3)或(2,-3)[提示:
∵A(-1,2),OC=4,
∴C(4,0),B(3,2),M(0,2),BM=3,AB//x轴.如图,将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后,由旋转得OM=OM₁=OM₂=2,∠AOA₁=∠AOA₂=90°,BM=B₁M₁=B₂M₂=3,A₁B₁⊥x轴,A₂B₂⊥x轴,
∴B₁和B₂的坐标分别为(-2,3),(2,-3),
∴点B的对应点坐标是(-2,3)或(2,-3).]

5. 在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 ABO 的顶点 O 是坐标原点,点 A 的坐标是( - 4,0),直角顶点 B 在第二象限,把△AOB 绕点 O 旋转 15°得到△A'OB',点 A 与 A'对应,点 B 与 B'对应,那么点 B'的坐标是 。

答案：
$(-\sqrt{2},\sqrt{6})$或$(-\sqrt{6},\sqrt{2})$[提示:如图
(1),若△AOB绕点O顺时针旋转15°得到△A'OB',过B'作B'C⊥y轴,则∠BOB'=15°.又
∵∠AOB=45°,
∴∠BOC=45°,
∴∠B'OC=30°.
∵点A的坐标是(-4,0),
∴AO=4,
∴B'O=BO=$2\sqrt{2}$,
∴B'C=$\frac{1}{2}$B'O=$\sqrt{2}$,CO=$\sqrt{3}$B'C=$\sqrt{6}$,
∴点B'的坐标是$(-\sqrt{2},\sqrt{6})$.如图
(2),若△AOB绕点O逆时针旋转15°得到△A'OB',过B'作B'C⊥y轴,则∠BOB'=15°,同理可得∠AOB'=30°,B'O=$2\sqrt{2}$,
∴∠CB'O=30°,
∴CO=$\frac{1}{2}$B'O=$\sqrt{2}$,B'C=$\sqrt{3}$CO=$\sqrt{6}$,
∴点B'的坐标是$(-\sqrt{6},\sqrt{2})$.综上所述,点B'的坐标是$(-\sqrt{2},\sqrt{6})$或$(-\sqrt{6},\sqrt{2})$.]

6. 已知在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 3,BC = 4,在平面内将△ABC 绕 B 点旋转,点 A 落到 A',点 C 落到 C',若旋转后点 C 的对应点 C'落直线 AB 上,那么 AA'的长为 。

答案：
$\sqrt{10}$或$3\sqrt{10}$[提示:①当C'点在线段AB上时,如图
(1),连接AA',
∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}$=$\sqrt{3^2+4^2}$=5.
∵在平面内将△ABC绕B点旋转,点A落到A',点C落到C',
∴BC'=BC=4,A'C'=AC=3,
∴AC'=AB - BC'=1,
∴AA'=$\sqrt{AC'^2+A'C'^2}$=$\sqrt{1^2+3^2}$=$\sqrt{10}$.②当C'点在线段AB的延长线上时,如图
(2),连接AA',
∵在平面内将△ABC绕B点旋转,点A落到A',点C落到C',
∴BC'=BC=4,A'C'=AC=3,
∴AC'=AB+BC'=9,
∴AA'=$\sqrt{AC'^2+A'C'^2}$=$\sqrt{9^2+3^2}$=$3\sqrt{10}$.综上,AA'的长为$\sqrt{10}$或$3\sqrt{10}$.]

7. 如图,已知矩形 ABCD 中,AD = 10,AB = 6。现将边 AD 绕它的一个端点旋转,当另一端点恰好落在边 BC 所在直线的点 E 处时,线段 DE 的长度为 $2\sqrt{10}$或$6\sqrt{10}$或10。

答案： $2\sqrt{10}$或$6\sqrt{10}$或10[提示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=6,AD=BC=10,∠ABC=∠DCB=90°.当AD=AE=10时,BE=$\sqrt{AE^2-AB^2}$=$\sqrt{10^2-6^2}$=8,
∴CE=10 - 2=8或CE=10+8=18.
∴DE=$\sqrt{CD^2+EC^2}$=$\sqrt{6^2+2^2}$=$2\sqrt{10}$或DE=$\sqrt{CD^2+EC^2}$=$\sqrt{6^2+18^2}$=$6\sqrt{10}$,当DE=DA=10时,DE=10.综上,满足条件的DE的长为$2\sqrt{10}$或$6\sqrt{10}$或10.]

8. 如图,在△ABC 中,∠B = 45°,∠C = 60°,将△ABC 绕点 A 旋转 30°后得到$△AB_1C_1,$求$∠BAC_1$的度数。

答案： 解:当△ABC绕点A逆时针旋转30°时,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,
∴∠BAC=180° - ∠B - ∠C=75°,
∴∠BAC₁=∠BAC+∠CAC₁=75°+30°=105°.当△ABC绕点A顺时针旋转30°时,∠BAC₁=∠BAC - ∠CAC₁=75° - 30°=45°.综上可知,∠BAC₁=105°或45°.

9. 如图,已知菱形 ABCD 中,∠ABC = 60°,点 E 在边 BC 上,∠BAE = 25°。把线段 AE 绕点 A 逆时针方向旋转,使点 E 落在边 DC 上,则旋转角α的度数为 。

答案：
60°或70°[提示:连接AC.
∵菱形ABCD中,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠ACD=60°.本题有两种情况:①如图,将△ABE绕点A逆时针旋转,使点B与点C重合,点E与点E₁重合,此时△ABE≌△ACE₁,AE=AE₁,旋转角α=∠BAC=60°.②
∵∠BAC=60°,∠BAE=25°,
∴∠EAC=35°.如图,将线段AE绕点A逆时针旋转70°,使点E到点E₂的位置,此时△AEC≌△AE₂C,AE=AE₂,旋转角α=∠EAE₂=70°.综上可知,符合条件的旋转角α的度数为60°或70°.

10. 如图,在△OAB 中,OA = OB,∠AOB = 15°,在△OCD 中,OC = OD,∠COD = 45°,且点 C 在边 OA 上,连接 CB,将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转一定角度得到线段 OE,使 DE = CB,则∠BOE 的度数为 。

答案：
45°或15°[提示:如图,当OE在∠BOD内部时,由OD=OC,DE=BC,OB=OE可得△ODE≌△OCB,故∠DOE=∠COB=15°,此时∠BOE=45° - 15° - 15°=15°.当OE'在∠BOD外部时,同理得∠DOE'=∠COB=15°,此时∠BOE'=45° - 15°+15°=45°.