《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

10. 如图,△ABC中,∠A= 60°,BC= 6,它的周长为16.若⊙O与BC,AC,AB三边分别切于点E,F,D,则DF的长为(2)

A.2
B.3
C.4
D.6

答案： A[提示:
∵ ⊙O 与 BC,AC,AB 三边分别切于点 E,F,D,
∴ AD = AF,BE = BD,CE = CF.
∵ BC = BE + CE =6,
∴ BD +CF =6.
∵ AD = AF,∠A =60°,
∴ △ADF 是等边三角形,
∴ AD = AF = DF.
∵ AB + AC + BC =16,BC =6,
∴ AB + AC =10.
∵ BD + CF =6,
∴ AD + AF =4.
∵ AD = AF = DF,
∴ DF=AF = AD=(1/2)×4=2.]

11. (2023·山东聊城中考)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI= 35°,则∠OBC的度数为(C)

A.15°
B.17.5°
C.20°
D.25°

答案： C[提示:连接 OC,
∵ 点 I 是△ABC 的内心,
∴ AI 平分∠BAC.
∵ ∠CAI =35°,
∴ ∠BAC =2∠CAI =70°.
∵ 点 O 是△ABC 外接圆的圆心,
∴ ∠BOC =2∠BAC =140°.
∵ OB =OC,
∴ ∠OBC = ∠OCB=(1/2)×(180° - ∠BOC)=(1/2)×(180° -140°)=20°.]

12. 如图,已知PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA= PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心.其中正确说法的个数是(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C[提示:
∵ PA,PB 是⊙O 的两条切线,A,B 为切点,
∴ PA= PB,
∴ ①正确.
∵ OA = OB,PA = PB,
∴ OP 垂直平分 AB,
∴ ②正确.
∵ PA,PB 是⊙O 的两条切线,A,B 为切点,
∴ OA⊥PA,OB⊥PB,
∴ ∠OAP = ∠OBP =90°,
∴ 点 A,B 在以OP 为直径的圆上,
∴ 四边形 OAPB 有外接圆,
∴ ③正确.
∵ 只有当∠APO =30°时,OP =2OA,此时 PM = OM,
∴ M 不一定为△AOP 外接圆的圆心,
∴ ④错误.]

13. 如图,△ABC的内心为I,连接AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系是( )

A.DI= DB
B.DI＞DB
C.DI＜DB
D.不确定

答案：
A[提示:连接 BI,如图,
∵ △ABC 的内心为 I,
∴ ∠1 = ∠2,∠5 = ∠6.
∵ ∠3 = ∠1,
∴ ∠3 = ∠2.
∵ ∠4 = ∠2 + ∠6 =∠3 + ∠5,即∠4 = ∠DBI,
∴ DI = DB.]

14. (2023·山东泰安中考)为了测量一个圆形光盘的半径,小明把直尺、光盘和三角尺按如图所示放置于桌面上,并量出AB= 4 cm,则这张光盘的半径是______ cm.(精确到0.1 cm.参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$)
]

答案：
6.9[提示:设光盘的圆心为 O,由题意知 AB,AC 切⊙O 于C,B,连接 OC,OB,OA,如图,
∵ AC,AB 分别为⊙O 的切线,
∴ AO 为∠CAB 的平分线,OC ⊥ AC,OB ⊥ AB.又∠CAD =60°,
∴ ∠OAC = ∠OAB=(1/2)∠CAB =60°.在 Rt△AOB 中,∠OAB =60°,AB =4,
∴ ∠AOB =30°,
∴ OA =2AB =8,
∴ OB=√(OA² - AB²)=√(8² -4²)=4√3≈6.9,即这张光盘的半径约为6.9 cm.]

15. 如图,PA,PB是⊙O的切线,CD切⊙O于点E,△PCD的周长为12,∠APB= 60°.求：
(1)PA的长；
(2)∠COD的度数.
]

答案： 解:
(1)
∵ CA,CE 都是圆 O 的切线,
∴ CA = CE,同理 DE =DB,PA = PB,
∴ △PCD 的周长 = PD + CD + PC = PD + PC+ CA + BD = PA + PB =2PA =12,即 PA 的长为 6.
(2)
∵ ∠P =60°,
∴ ∠PCE + ∠PDE =120°,
∴ ∠ACD +∠CDB =360° -120° =240°.
∵ CA,CE 是圆 O 的切线,
∴ ∠OCE = ∠OCA=(1/2)∠ACD.同理∠ODE=(1/2)∠CDB,
∴ ∠OCE + ∠ODE=(1/2)(∠ACD + ∠CDB)=120°,
∴ ∠COD =180° -120° =60°.

16. 【问题引入】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式,为海伦—秦九韶公式,如果一个三角形的三边长分别是a,b,c,记$p= \frac{a+b+c}{2}$,那么三角形面积为：$S= \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$,在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边长分别为a,b,c,若a= 3,b= 4,c= 5,则△ABC的面积为6.
【问题探索】如图1,在△ABC中,设BC= a,AC= b,AB= c,$p= \frac{a+b+c}{2}$,⊙M是△ABC的内切圆,⊙N分别与AC的延长线、AB的延长线以及线段BC均只有一个公共点,⊙M的半径为m,⊙N的半径为n.
(1)分析与证明：如图2,连接MA,MB,MC,则△ABC被划分为三个小三角形,用S表示△ABC的面积,即$S = S_{△MBC} + S_{△MCA} + S_{△MAB}$,那么S= ______；
(2)理解与应用：当∠A= 60°,m= 2,n= 6时,△ABC的面积为______.
]

答案：

(1)pm
(2)12√3[提示:
(1)如图,S = p·m 成立,理由如下:S = S△MBC + S△MCA + S△MAB=(am)/2 + (bm)/2 + (cm)/2=(a + b + c)/2·m.又
∵ p=(a + b + c)/2,
∴ S = pm.
(2)如图,过点 N 分别作 AB,CB,AC 的垂线,垂足分别为点 D,E,F,
∵ ⊙N 分别与 AC 的延长线、AB 的延长线以及线段 BC 均只有一个公共点,
∴ AD,AF,BC 与⊙N 分别相切于点 D,F,E,
∴ AD = AF,CF = CE,BE = BD,
∴ AD = AF=(1/2)(AD + AF)=(1/2)(AB + BD + AC +CF)=(1/2)(AB + BE + AC + CE)=(1/2)(AB + BC + CA)= p.
∵ ND ⊥ AB,NF ⊥ AC,
∴ AN 平分∠CAB,
∴ ∠NAD=(1/2)∠CAB=30°.在 Rt△ADN 中,DN =6,∠NAD =30°,
∴ AD =√3 ND=6√3 = p,
∴ S△ABC = pm =6√3×2 =12√3.]