《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

10. 关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} + 4kx + 2k^{2} = 4 $ 的一个解是$-2$,则 $ k $ 的值为(B)
A.$ 2 $ 或 $ 4 $
B.$ 0 $ 或 $ 4 $
C.$ -2 $ 或 $ 0 $
D.$ -2 $ 或 $ 2 $

答案： B[提示:把$x=-2$代入方程$x^{2}+4kx+2k^{2}=4$,得$4-8k+2k^{2}=4$.整理,得$k^{2}-4k=0$,解得$k_{1}=0,k_{2}=4$,即k的值为0或4.]

11. 若方程 $ x^{2} + px + q = 0 $ 的根是 $ 2 $ 和 $ 3 $,那么代数式 $ x^{2} - px + q $ 可分解因式为((x+2)(x+3))
A.$ (x - 2)(x - 3) $
B.$ (x + 2)(x + 3) $
C.$ (x + 2)(x - 3) $
D.$ (x - 2)(x + 3) $

答案： B[提示:
∵方程$x^{2}+px+q=0$的根是2和3,$\therefore x^{2}+px+q=(x-2)(x-3)$,则$x^{2}+px+q=x^{2}-5x+6,\therefore p=-5,q=6,\therefore x^{2}-px+q=x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).]$

12. (易错题)三角形两边的长分别是 $ 7 $ 和 $ 11 $,第三边的长是一元二次方程 $ x^{2} - 25 = 2(x - 5)^{2} $ 的一个实数根,则该三角形的周长是(B)
A.$ 23 $
B.$ 23 $ 或 $ 33 $
C.$ 24 $
D.$ 24 $ 或 $ 30 $

答案： B[提示:$(x+5)(x-5)-2(x-5)^{2}=0,\therefore (x-5)[(x+5)-2(x-5)]=0,\therefore (x-5)(-x+15)=0$,解得$x_{1}=5,x_{2}=15$.
∵三角形两边的长分别是7和11,$\therefore 11-7＜$第三边$＜7+11,\therefore 4＜$第三边$＜18$,
∴7,11,5和7,11,15都能组成三角形,
∴该三角形的周长是$7+11+5=23$或$7+11+15=33.]$

13. (易错题)已知等腰三角形的一边长为 $ 8 $,另一边长为方程 $ x^{2} - 8x + 15 = 0 $ 的根,则该等腰三角形的面积为12或$\frac {3\sqrt {247}}{4}$或$\frac {5\sqrt {231}}{4}$.

答案： 12或$\frac {3\sqrt {247}}{4}$或$\frac {5\sqrt {231}}{4}$[提示:方程$x^{2}-8x+15=0$分解因式得$(x-3)(x-5)=0,\therefore x-3=0$或$x-5=0$,解得$x=3$或$x=5$,
∴等腰三角形的三边长为8,8,3或8,3,3(不能构成三角形,舍去)或8,5,5或8,8,5.当等腰三角形的三边长为8,5,5时,底边上的高为$\sqrt {5^{2}-(\frac {8}{2})^{2}}=3$,此时三角形的面积是$\frac {1}{2}×8×3=12$.当等腰三角形的三边长为8,8,3时,底边上的高为$\sqrt {8^{2}-(\frac {3}{2})^{2}}=\frac {\sqrt {247}}{2}$,此时三角形的面积是$\frac {1}{2}×3×\frac {\sqrt {247}}{2}=\frac {3\sqrt {247}}{4}$.当等腰三角形的三边长为8,8,5时,底边上的高为$\sqrt {8^{2}-(\frac {5}{2})^{2}}=\frac {\sqrt {231}}{2}$,此时三角形的面积是$\frac {1}{2}×5×\frac {\sqrt {231}}{2}=\frac {5\sqrt {231}}{4}$.故该等腰三角形的面积为12或$\frac {3\sqrt {247}}{4}$或$\frac {5\sqrt {231}}{4}.]$

14. 对于实数 $ a $,$ b $,定义运算“$ \odot $”如下：$ a \odot b = (a + b)^{2} - (a - b)^{2} $. 若 $ (m + 2) \odot (m - 3) = 24 $,则 $ m = $-3或4.

答案： -3或4[提示:根据题意,得$[(m+2)+(m-3)]^{2}-[(m+2)-(m-3)]^{2}=24,(2m-1)^{2}-49=0,(2m-1+7)\cdot (2m-1-7)=0$,即$2m-1+7=0$或$2m-1-7=0,\therefore m_{1}=-3,m_{2}=4.]$

15. (教材改编题)用适当的方法解方程.
(1)$ (x + 2)(x + 8) = 6 $；
(2)$ (3x - 2)^{2} = (2x - 3)^{2} $；
(3)$ (-2x + 1)^{2} = 3(2x - 1) $；
(4)$ \frac{1}{2}x^{2} = \sqrt{7}x + 3 $.

答案： 解:
(1)方程整理,得$x^{2}+10x=-10$.配方,得$x^{2}+10x+25=-10+25$,即$(x+5)^{2}=15$.直接开平方,得$x+5=\pm \sqrt {15}$.解得$x_{1}=-5+\sqrt {15},x_{2}=-5-\sqrt {15}$.
(2)直接开平方,得$3x-2=2x-3$或$3x-2=3-2x$,解得$x_{1}=-1,x_{2}=1$.
(3)方程整理,得$(2x-1)^{2}-3(2x-1)=0$.因式分解,得$(2x-1)(2x-1-3)=0$.于是,得$2x-1=0$或$2x-1-3=0$.解得$x_{1}=\frac {1}{2},x_{2}=2$.
(4)化为一般形式,得$\frac {1}{2}x^{2}-\sqrt {7}x-3=0,\because a=\frac {1}{2},b=-\sqrt {7},c=-3,\therefore \Delta =(-\sqrt {7})^{2}-4×\frac {1}{2}×(-3)=13＞0,\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=\frac {-(-\sqrt {7})\pm \sqrt {13}}{2×\frac {1}{2}}$,解得$x_{1}=\sqrt {7}+\sqrt {13},x_{2}=\sqrt {7}-\sqrt {13}.$

16. (阅读理解题)阅读下面的例题.
解方程：$ x^{2} - |x| - 2 = 0 $.
解：(1)当 $ x \geq 0 $ 时,原方程化为 $ x^{2} - x - 2 = 0 $,解得 $ x_{1} = 2 $,$ x_{2} = -1 $(不合题意,舍去).
(2)当 $ x ＜ 0 $ 时,原方程化为 $ x^{2} + x - 2 = 0 $,解得 $ x_{1} = -2 $,$ x_{2} = 1 $(不合题意,舍去).
$ \therefore $ 原方程的根是 $ x_{1} = 2 $,$ x_{2} = -2 $.
请参照例题解方程 $ x^{2} - |x - 1| - 1 = 0 $.

答案： 解:$x^{2}-|x-1|-1=0$.
(1)当$x≥1$时,原方程化为$x^{2}-x=0$,解得$x_{1}=1,x_{2}=0$(不合题意,舍去).
(2)当$x＜1$时,原方程化为$x^{2}+x-2=0$,解得$x_{1}=-2,x_{2}=1$(不合题意,舍去).故原方程的根是$x_{1}=1,x_{2}=-2.$

17. (阅读理解题)阅读材料,解答问题.
解方程：$ (4x - 1)^{2} - 10(4x - 1) + 24 = 0 $.
解：把 $ 4x - 1 $ 视为一个整体,设 $ 4x - 1 = y $,则原方程可化为 $ y^{2} - 10y + 24 = 0 $.
解得 $ y_{1} = 6 $,$ y_{2} = 4 $.
$ \therefore 4x - 1 = 6 $ 或 $ 4x - 1 = 4 $.
$ \therefore x_{1} = \frac{7}{4} $,$ x_{2} = \frac{5}{4} $.
以上方法就叫换元法,达到简化或降次的目的,体现了转化的思想.
请仿照材料解下列方程.
(1)$ x^{4} - x^{2} - 6 = 0 $；
(2)$ (x^{2} - 2x)^{2} - 5x^{2} + 10x - 6 = 0 $.

答案： 解:
(1)设$x^{2}=y$,则原方程可化为$y^{2}-y-6=0$,整理,得$(y-3)(y+2)=0$,解得$y_{1}=3,y_{2}=-2$.当$y=3$时,即$x^{2}=3,\therefore x=\pm \sqrt {3}$;当$y=-2$时,$x^{2}=-2$无解.
∴原方程的解为$x_{1}=\sqrt {3},x_{2}=-\sqrt {3}$.
(2)设$x^{2}-2x=y$,则原方程可化为$y^{2}-5y-6=0$,整理,得$(y-6)(y+1)=0$,解得$y_{1}=6,y_{2}=-1$.当$y=6$时,即$x^{2}-2x=6$,解得$x_{1}=1+\sqrt {7},x_{2}=1-\sqrt {7}$;当$y=-1$时,即$x^{2}-2x=-1$,解得$x_{3}=x_{4}=1$.综上,原方程的解为$x_{1}=1+\sqrt {7},x_{2}=1-\sqrt {7},x_{3}=x_{4}=1.$