《2025年全科王同步课时练习九年级数学上册人教版》

1. 二次函数 $ y = x^2 + 2x + 2 $ 的图象的对称轴是(直线x=-1)
A.$ x = -1 $
B.$ x = -2 $
C.$ x = 1 $
D.$ x = 2 $

答案： 1.A[提示:方法1:
∵y=x²+2x+2中,a=1,b=2,
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-1.$方法2:
∵y=x²+2x+2=x²+2x+1+1=(x+1)²+1,
∴抛物线的对称轴为直线x=-1.]

2. 关于抛物线 $ y = -x^2 + 2x - 3 $ 的判断,下列说法正确的是(D)
A.抛物线的开口方向向上
B.抛物线的对称轴是直线 $ x = -1 $
C.当 $ x ＜ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.抛物线与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0, -3) $

答案： 2.D[提示:
∵抛物线y=-x²+2x-3=-(x-1)²-2,
∴该抛物线的开口向下,抛物线的对称轴是直线x=1,当x＜1时,y随x的增大而增大,故选项A,B,C不符合题意.
∵当x=0时,y=-3,
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3),故选项D符合题意.]

3. (2023·山东泰安中考)二次函数 $ y = -x^2 - 3x + 4 $ 的最大值是$\dfrac{25}{4}$。

答案： 3.$\dfrac{25}{4}$[提示:y=-x²-3x+4=-\left(x+\dfrac{3}{2}\right)²+\dfrac{25}{4}.
∵a=-1＜0,
∴当x=-\dfrac{3}{2}时,y取得最大值,最大值为$\dfrac{25}{4}$.]

4. (2023·湖南衡南县一模)如果三点 $ P_1(1, y_1) $,$ P_2(3, y_2) $ 和 $ P_3(4, y_3) $ 在抛物线 $ y = -x^2 + 6x + c $ 的图象上,那么 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 之间的大小关系是y₂＞y₃＞y₁。

答案： 4.y₂＞y₃＞y₁[提示:
∵抛物线y=-x²+6x+c的开口向下,对称轴是直线$x=-\dfrac{6}{-2}=3,$
∴当x＞3时,y随x的增大而减小,P₁(1,y₁)关于直线x=3的对称点是(5,y₁).
∵3＜4＜5,
∴y₂＞y₃＞y₁.]

5. (易错题)已知二次函数 $ y = 2x^2 + 4x - 6 $。
(1) 将二次函数的解析式化为 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式；
(2) 写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。

答案： 5.解:
(1)y=2x²+4x-6=2(x²+2x+1)-8=2(x+1)²-8.
(2)由
(1)知该抛物线解析式是y=2(x+1)²-8.a=2＞0,则二次函数图象的开口方向向上,对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,-8).
[易错警示] 用配方法把二次函数y=ax²+bx+c化为顶点式时要注意与一元二次方程配方法的区别:
(1)提取二次项系数使其系数为1,而配方法解一元二次方程是方程两边同除以二次项系数.
(2)注意“一加一减”:提取完二次项系数后,括号里要加上一次项系数一半的平方配成完全平方式,再减去一次项系数一半的平方,这里的一次项系数是提取了二次项系数之后的一次项系数.]

6. 抛物线 $ y = x^2 - 2x + 3 $ 向右平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度,得到抛物线的顶点坐标是(3,5)。

答案： 6.(3,5)[提示:
∵抛物线y=x²-2x+3=(x-1)²+2,
∴抛物线y=x²-2x+3向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到抛物线y=(x-1-2)²+2+3,即y=(x-3)²+5,
∴平移后的抛物线的顶点坐标为(3,5).]

7. 把抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 先向右平移 3 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度,所得抛物线是 $ y = x^2 - 3x + 5 $,求 $ a + b + c $ 的值。

答案： 7.解:将抛物线y=x²-3x+5先向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度后,可得抛物线y=ax²+bx+c.
∴y=(x+3)²-3(x+3)+5+2=ax²+bx+c.
∴a=1,b=3,c=7.
∴a+b+c=11.

8. (2023·湖北宜昌中考)如图,一名学生推铅球,铅球行进高度 $ y $ (单位：m)与水平距离 $ x $ (单位：m)之间的关系是 $ y = -\frac{1}{12}(x - 10)(x + 4) $,则铅球推出的距离 $ OA = $10 m。

答案： 8.10[提示:令y=0,则$-\dfrac{1}{12}(x-10)(x+4)=0,$解得x=10或x=-4(不合题意,舍去),
∴A(10,0),
∴OA=10 m.]

9. (跨学科融合题)生物学研究表明,在一定的温度范围内,酶的活性会随温度的升高逐渐增强。在最适宜温度时,酶的活性最强,超过一定温度范围,酶的活性又随温度的升高逐渐减弱,甚至会失去活性。现已知某种酶的活性值 $ y $ (单位：IU)与温度 $ x $ (单位：℃)的关系可以近似用二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 14x + 142 $ 来表示,则当温度为最适宜温度时,该种酶的活性值为240 IU。

答案： 9.240[提示:
∵$y=-\dfrac{1}{2}x²+14x+142=-\dfrac{1}{2}(x-14)²+240,$
∴当x=14时,y的最大值为240,故当温度为14℃时,该种酶的活性值为240 IU.]

10. (情境题)如图,喷泉的喷头喷出的水珠在空中形成抛物线,在抛物线各个位置上水珠的竖直高度 $ y $ (单位：m)与它喷头的水平距离 $ x $ (单位：m)满足函数关系式 $ y = -2x^2 + 4x + 6 $。
(1) 求水珠运动过程中距离地面的最大高度；
(2) 观赏的人站在距离喷头水平距离 3.5 m 的地方,会不会被喷泉喷出的水打湿？

答案： 10.解:
(1)y=-2x²+4x+6=-2(x-1)²+8,
∵-2＜0,
∴当x=1时,y有最大值,最大值为8.答:水珠运动过程中距离地面的最大高度为8 m.
(2)令y=0,则-2x²+4x+6=0,解得x₁=-1(舍去),x₂=3,
∴喷泉水珠的落地点距离喷头的水平距离为3 m.
∵3 m＜3.5 m,
∴观赏的人站在距离喷头水平距离3.5 m的地方,不会被喷泉喷出的水打湿.