《2025年同步练习册分层卷八年级数学上册人教版》

10. (3分)若$a$,$b$,$c$为三角形的三边,且满足分式$\frac{b - c}{a - c}$的值为0,则此三角形的形状为(B)
[A] 直角三角形 [B] 等腰三角形
[C] 等边三角形 [D] 无法确定

答案： B

11. (3分)已知分式$\frac{x + b}{2x + a}$,当$x = 2$时,分式的值为$0$；当$x = -2$时,分式无意义,则$a + b$的值是(A)
[A] 2 [B] -2 [C] 6 [D] -6

答案： A 解析：
∵分式$\frac{x+b}{2x+a}$，当$x=2$时，分式的值为0，
$\therefore 2+b=0$，解得$b=-2$.
∵当$x=-2$时，分式没有意义，
$\therefore 2×(-2)+a=0$，解得$a=4$.
$\therefore a+b=4-2=2$.

12. (6分)当$x$取何值时,下列分式有意义?
(1)$\frac{x + 2}{2x - 3}$；
(2)$\frac{6(x + 3)}{\vert x\vert - 12}$；
(3)$\frac{x + 6}{x^{2}+1}$.

答案： 解：
(1)由$\frac{x+2}{2x-3}$有意义，得$2x-3\neq0$，
解得$x\neq \frac{3}{2}$.
$\therefore$当$x\neq \frac{3}{2}$时，$\frac{x+2}{2x-3}$有意义.
(2)由$\frac{6(x+3)}{|x|-12}$有意义，得$|x|-12\neq0$，
解得$x\neq \pm 12$.
$\therefore$当$x\neq \pm 12$时，$\frac{6(x+3)}{|x|-12}$有意义.
(3)由$\frac{x+6}{x^2+1}$有意义，得$x^2+1\neq0$.
$\therefore$当$x$为任意实数时，$\frac{x+6}{x^2+1}$都有意义.

13. (5分)若式子$\frac{2x + 1}{3y - 1}$无意义,求代数式$(y + x)(y - x)+x^{2}$的值.

答案： 解：
∵式子$\frac{2x+1}{3y-1}$无意义，
$\therefore 3y-1=0$，解得$y=\frac{1}{3}$.
原式$=y^2-x^2+x^2=y^2=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$.

14. (6分)某市对一段全长为$1500$m的道路进行改造.原计划每天修$x$m,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天修的路比原计划的$2倍还多30$m.
(1)用代数式表示修这段路实际用的天数,并判断所列出的代数式是整式还是分式；
(2)若$x = 135$,则实际修完这段路用了多少天?

答案： 解：
(1)修这段路实际用的天数为$\frac{1500}{2x+30}$，它是分式.
(2)当$x=135$时，
$\frac{1500}{2x+30}=\frac{1500}{2×135+30}=\frac{1500}{300}=5(天)$，
故实际修完这段路用了5天.

15. (9分)在一次数学练习课上,徐老师为同学们出了这样一道题:当$x = -\frac{1}{2}$,$x = -2$,$x = 0$,$x = 1$,$x = \frac{1}{2}$时,求分式$\frac{1}{x^{2}-2x + 3}$的值.
(1)请你完成这道题.
(2)做完这道题后,聪明的王鑫发现:无论$x$取何值,上述分式都有意义.你知道这是为什么吗?
(3)若不论$x$取何实数,分式$\frac{1}{x^{2}-2x + m}$都有意义,你能求出$m$的取值范围吗?

答案： 解：
(1)把$x=-\frac{1}{2}$代入$\frac{1}{x^2-2x+3}$中，得
$\frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^2-2×\left(-\frac{1}{2}\right)+3}=\frac{1}{\frac{1}{4}+1+3}=\frac{4}{17}$.
把$x=-2$代入$\frac{1}{x^2-2x+3}$中，得
$\frac{1}{(-2)^2-2×(-2)+3}=\frac{1}{4+4+3}=\frac{1}{11}$.
把$x=0$代入$\frac{1}{x^2-2x+3}$中，得$\frac{1}{0^2-2×0+3}=\frac{1}{3}$.
把$x=1$代入$\frac{1}{x^2-2x+3}$中，得$\frac{1}{1^2-2×1+3}=\frac{1}{2}$.
把$x=\frac{1}{2}$代入$\frac{1}{x^2-2x+3}$中，得
$\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2-2×\frac{1}{2}+3}=\frac{1}{\frac{1}{4}-1+3}=\frac{4}{9}$.
(2)$\because x^2-2x+3=(x^2-2x+1)+2=(x-1)^2+2$，
无论$x$为何值，$(x-1)^2\geq0$，
$\therefore (x-1)^2+2\neq0$，即$x^2-2x+3\neq0$.
$\therefore$无论$x$取何值，分式$\frac{1}{x^2-2x+3}$都有意义.
(3)$\because x^2-2x+m=(x^2-2x+1)+(m-1)=(x-1)^2+(m-1)$，
$\therefore$当$m-1＞0$，即$m＞1$时，不论$x$取何实数，分式$\frac{1}{x^2-2x+m}$都有意义.